三角二三事

預計 98 年實施的下一版高中數學課程綱要，在委員會努力工作了幾乎一整年之後，可以說雛型已備，快要拿出來就教於大眾了。這份綱要在教育政策上的主要使命，需承九年一貫數學課程於先，啟大學的入門課程如微積分、線性代數與統計學於後 (事實上也觀照了物理、經濟學和計算機概論)。在這承先啟後的前提之下，新綱要 (草案) 難免有些乍看之下有失傳統的設計，未來在公聽會中想必需要向大眾做一番解釋。此處我們先說一件：三角學的份量稍微減少，分組之後非全部必修，並且延長學習時間。這些改變雖然是委員會憑學識與經驗所做的決定，但也全都可以利用在 94 學年度同時獨立進行的兩篇數學教育碩士論文，來支持這些改變。
舉例來說，黃鈺芸逐頁檢視前述三門課程之常用教科書與其 (出版社提供給教師的) 習題詳解共五冊之後，結論「和差化積公式」從來不曾用到，而「積化和差公式」只在唯一的一種積分形式中用到。 98 綱要 (草案) 則明文不含這兩條公式。從她向中央大學管理學院與生命科學系教授所做的書面訪問 (含 Email) 結果來看，不論在大學授課或個人研究工作中，教授們都不認為需要某部份三角學的知識。 98 綱要 (草案) 則將含「正餘弦疊合」在內的部份內容移至高三上學期，並且移出學測與數乙的考試範圍。江佳玲以一份謹慎設計的測驗卷，對 12 個高一下學期的班級測驗他們在國中時代理論上該學成的三角學相關預備知識。除了成功中學以外，這裡不含一般所謂的「明星高中」。結果 (有點讓我意外地) 發現真的有八成以上的學生具備所有的預備知識 (對國中小的教育同仁，這應該是個令人振奮的消息)。仔細檢視前後測以及學生在修業過程當中的考試表現，她獲致的結論是，不論高中教師如何不滿意，國中數學教育完成了它「法定的」教育目標；假設不再修改那個目標，高中教育必須順應配合。而且證據顯示現行的三角學課程太過緊湊，幾乎沒有學生跟得上進度，就算準備良好也不行。 98 綱要 (草案) 則將三角學課程拆成兩段，先學具體直角三角形上的比值，等到學生更成熟了再發展它們的函數意義，使得整個學習的過程較長較緩。
其實六個三角函數 (sin, cos, tan, cot, sec 和 csc) 也不過就是直角三角形三個邊長兩兩捉對廝殺的比值 (簡單的排列問題：三個邊任選兩邊，共有六種可能的分子分母排列)。理論上，配合所謂的平方關係 (其實就是畢氏定理)，只要知道其中的任何一個，就能算出其他五個。但為了實際應用的方便，我們通常使用前三個：正弦、餘弦和正切。「弦」這個名字的由來，是古希臘最初用圓的弦長 (圓周上兩點連線的長度) 來表現正弦 (角度就是對應那條弦的圓心角)。「切」這個名字的由來，是它表現了切線斜率。「正」和「餘」兩個字則是因為直角三角形內的兩個銳角乃是互餘 (兩角和為 $90^\circ$ )，它們彼此稱為對方的餘角；如果 $\theta$ 是直角三角形中的一個銳角，則 $\theta$ 的餘弦就是它餘角的正弦。
如果限定在直角三角形上，則三角函數的 $\theta$ 必須介於 $0^\circ$ 和 $90^\circ$ 之間，就連等於 $0^\circ$ 或 $90^\circ$ 都不可以，因為那樣子根本沒有一個對應的直角三角形。想要突破這個限制 (我們必須要突破)，就要把三角函數的概念擴展到圓上。這可能是高中數學教師與學生自從相識以來所面臨的第一道鴻溝，雙方都接受極大的挑戰。教學的方法當然不只一種，古典的作法是學習古希臘，搬出圓心角、圓周角和弦長來發展；《科學月刊》和《數學傳播》都不乏可愛的補充材料。
對於那些有浪漫色彩的文藝青年，我會順便舉一首詩做例子。那是呂興昌收錄在《小數點之歌-曹開數學詩集》裡面的『三角形與圓形』。曹開 (1929-1997) 生於彰化員林，在白色恐怖的年代就讀台中師範學院三年級，因政治言論獲罪而失學入獄，在綠島渡過青春的十年。在牢獄中自修數學 (這可能是獄吏認為最安全的書)，並且寫了許多有新月派風味的詩。其中有「尖尖銳利的三角形/和溫柔的圓偎依在一起，圓肯以三角的重點/做為自己圓規的中心，圓周和順的貫通/尖銳的三角頂，這是典型的愛情公式軌跡」。配合一張三角形與其外接圓的插圖，對青年學生很有教育啟發的功效，對於將三角的觀念拓展到圓周上，也有潛移默化的移情作用。還有興趣的讀者，只要問 Google「曹開」就知道了。
對於那些有想像力卻也容易滿足的學生 (像我的女兒和兒子)，只要在第一象限的單位圓周上，舉幾個例子，並配合平方關係，讓她發現 (並且相信) 圓周上的點的 x 坐標恰好就是 $\cos\theta$ 而 y 坐標恰好就是 $\sin\theta$ ，就可以直接告訴她，依此類推，我們就在整個圓周上定義了從 $0^\circ$ 到 $360^\circ$ 的所有正弦和餘弦函數了。其他四個就依樣畫葫蘆地按照倒數關係去定義。
把三角函數的定義擴展到廣義角並不難，只要跨過技術和概念的鴻溝就行了。我覺得困難的是，說服學生 (是真的心服口服) 有這樣做的必要。幸好並沒有很多學生，會主動提出這樣的質疑 (他們習慣了逆來順受)。三角學的傳統應用問題：求弦長和平面與空間中的測量，大約可以看到有考慮 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ (含) 的必要 (即使沒必要也會比較方便)，但也謹此而已了。這個質疑的答案不在高中範圍內，所以難以回答。我們需要廣義角，是因為需要三角函數成為「函數」。那些關於測量的應用，其實是三角學在 19 世紀以前的價值 (就世俗眼光來看)，那個時候它們的函數意義真的不太重要。但是自從一個叫做傅立葉 (Fourier) 的法國人之後，三角函數的意義發生了質變，它進入了電磁學和熱力學的領域；等到 1960 年代一種名叫快速傅立葉轉換 (FFT) 的計算機演算法發明之後，三角函數的意義發生了量變，它現在就在你們老師說上課時不准拿出來的手機或者 MP3 裡面。每次妳接起手機說「喂」，妳的聲音就是先變成三角函數然後才飛出去的；每次妳爸爸在電話那端碎碎唸的時候，妳就想像他嘴巴裡吐出來一條又一條的三角函數。當然，這些東西只跟理工科的大學生有關， 98 數學綱要 (草案) 也就以蒼生為念，不用這些內容去麻煩社會組的學生了。
另一個難以回答 (幸好也很少人敢問) 的質疑是， $45^\circ$ 和 $90^\circ$ 說得好好的，幹麼偏要改成 $\pi/4$ 和 $\pi/2$ 呢？更危險的是，有學生以為用度的時候，我們只討論整數的角，而用弧的時候，我們只討論小數的角。希望學生確實了解，其實度和弧都是測量角的單位，就好像公分和英吋一樣，只是單位不同，他們的意義和目的都是一樣的。那又為甚麼要換單位呢？並不是因為國情不同或台灣主體，而是像以前 (二月號『第五常數』) 我們說，小時候用以 10 為底的對數 log，長大了換成以 e 為底的對數 ln 一樣，是因為微積分 (又是他！)。如果用度作單位，則 $\sin\theta$ 的微分是 $\frac{\pi}{180}\cos\theta$ ，再微分是 $-(\frac{\pi}{180})^2\sin\theta$ ，微三遍是 $-(\frac{\pi}{180})^3\cos\theta$ ，微四遍是 $(\frac{\pi}{180})^4\sin\theta$ ...。如果用弧作單位，則 $\sin\theta$ 的微分是 $\cos\theta$ ，再微分是 $-\sin\theta$ ，微三遍是 $-\cos\theta$ ，微四遍就回到 $\sin\theta$ ...。你自己說說看嘛，喜歡哪一組公式？
關於三角學我想說的最後一件事，是它們怎麼算出來的？傳統的方法跟高中生走過的軌跡差不多，從 $30^\circ$ , $60^\circ$ , $45^\circ$ 這些特殊角開始，用倍角、三倍角、和差公式，慢慢去推算其他角的正弦或餘弦。古希臘留下了解析度 $\frac14^\circ$ 而且精確度不高的正弦函數表，到了大航海時代已經不敷使用，西歐各帝國為爭奪海外霸權而以傾城之力製造解析度與精確度更高的三角函數表。最後畢其功於一役的，還是微積分 (一月號『永無止境的改進』)，且看下回分解。

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