虛數的實在存在

不知道這只是我一個人的錯覺，還是你們也發現了？我覺得最近幾期《科學月刊》裡面的數學越來越蓬勃，讓我讀得興味盎然；希望你們也是。至少我個人，從來不強求數學在『科學』月刊中的版面。因為，雖然我們常聽人說數學是科學之母啦、之皇后啦、之僕役啦，但數學和自然科學其實是兩種智識活動，它們幽微且盤錯的關係雖然是冥冥之中註定的，但畢竟是形而上的。我還是認為「數學是科學的語言」是比較中肯的說法 (本欄 95 年 8 月)。把數學系放在理學院，跟一群孜孜不倦在實驗室裡工作的偉大科學家放在一起，實在只是為了科層組織管理方便的權宜之計而已。
這個月我要跳回去講複數（原訂的三角函數順延）。因為打鐵要趁熱，我想回應五月號『文化裡遇見數學』關於三次方程式的公式解 (pp.354--8)。當初介紹虛數的時候 (本欄四月)，就想要提起這段故事，並且闡述高斯 (Carl Gauss) 的一個見解：虛數 (imaginary number，直譯為「想像的數」) 並不全然是人類的想像，它是實在地存在的。他舉的例子，就是三次方程式的公式解：當公式的中間步驟產生實數的時候，方程式其實有一對複數根；當公式的中間步驟產生虛數的時候，方程式其實有三個實數根。如果你想要走進三個實數根的殿堂，就必須穿越虛數的門廊。透過三次方程式，實數和虛數互相映照的關係，被明確地表現出來。所以虛數和實數一樣是數學內在結構裡的本質元素，而不是人類想像出來的怪物！
我當時認為這個故事，偏離我預定的目標太遠 (數學中最美的等式)，所以割捨了。欣然見到英家銘和蘇意雯兩位老師，恰好為我補足了所有需要的基礎，真是天作之合啊 (我們真的不是約好的)。歷史故事和公式解的推導，都被英、蘇兩位老師 (不是兩國) 講完了，我們就從 357 頁開始。只考慮這種形式的 (實係數) 三次方程式，以後就稱它為 (P)，其中 p 是正數，q 不管是正還是負還是零都可以；我們馬上就說明古人要求 q 是正數的原因。令
$\begin{displaymath} \Delta = (\frac{q}{2})^2+(\frac{p}3)^3 \end{displaymath}$

且 $u=\sqrt\Delta+(q/2)$ , $v=\sqrt\Delta-(q/2)$ 則 $x=\sqrt[3]u -\sqrt[3]v$ 就是 (P) 的一個（實）根。各位可以看到，不管 q 是正是負，(q/2)² 必為正數，而規定 p 為正數的目的，只是為了 $\Delta$ 必為正數，因此後面計算 u 和 v 的步驟可以開根號。原文 356 頁右上方寫著，消去平方項之後的三次方程式可以分成三種，其實是四種：當 (P) 右側的 q 是負數時，不影響 $\Delta$ 的計算，只是 u 變得比 v 小，所以計算 x 的時候就要用小數減大數。古人不習慣這種計算，我們可以接受，而得到一個負的 x。
稍後我會舉一個實際計算的例子。請先忍耐著看完符號上的推理過程。
把 (P)「改裝」成函數的形式，則 y=f(x) 的函數圖形與 x 軸的交點就是 (P) 的根，此後我們就稱這條曲線為 C。運用一點點微分學，我們會知道，當 p 是正數， C 永遠漸增，因此只會跟 x 軸產生一個交點；(P) 只有一個根。因為 C 的 y 截距 (代入 x=0) 就是 , 所以若 q 為正數，交點必在 y 軸的右邊，也就是有正根；若 q 為負數，交點必在 y 軸的左邊，也就是有負根。一圖解千言，讓我們看一張圖吧（如下）。我以 p=3 為例，為讀者畫了 q=3,2,...,-3 七種情況的曲線，也就是七種 C。觀察 q 是負數的時候有負根，q 是正數的時候有正根。然而，現在我更想要強調的是：這些方程式都只有一個根。

同樣也是運用一點點微分學，我們會知道，當 p 是負數， C 就會往下折和往上折：在 C 往下折的轉彎處，有一個山峰；在它往上折的轉彎處，有一個山谷；在山峰的左邊，C 無盡下降，在山谷右邊，C 無盡上升。請看前述網頁的第二幅圖。學過一個月微積分的讀者，都能算出來，山峰一定發生在 y 軸左邊的 $x^-=-\sqrt{\vert p\vert/3}$ 處，而山谷一定發生在對稱的 y 軸右邊 $x^+=+\sqrt{\vert p\vert/3}$ 處。想像著坐標平面上的曲線 C，如果它的山峰發生在 x 軸下方，則山谷更低也在 x 軸下方，所以 C 和 x 軸只能有一個交點，而且一定在的右邊；所以 (P) 只有一個正根。如果它的山谷發生在 x 軸上方，山峰更高也在 x 軸上方，所以 C 和 x 軸只能有一個交點，而且一定在的左邊；所以 (P) 只有一個負根。

有趣的是，如果山峰高過了 x 軸，但是山谷卻低於 x 軸，則 C 就會和 x 軸有三個交點：(P) 就會有三個根！只要求解兩個不等式和就會發現，原來這種有三個根的情況，就是 $\Delta<0$ 的情況！所以 $\Delta$ 其實可以當作 (P) 有幾個根的「判別式」！若 $\Delta>0$ 則 (P) 只有一個根，若 $\Delta<0$ 則 (P) 有三個根。我留給有興趣的讀者自己去推論 $\Delta=0$ 的情況。
高斯的話就是指這裡：當 (P) 有三個根， u 和 v 的計算卻面臨負數的平方根，也就是虛數！但是具有虛數的 u 和 v 最後卻能幫我們找到 (P) 的三個根。如果 u 和 v 的計算正常地得到實數，(P) 反而只有一個根，但是實數的 u 和 v 卻可以幫我們找到 (P) 的一對共軛複數根！多麼美麗而必然的對稱關係？
舉個有數字的例子。令 p = -3，q = 1，也就是求解。此時
$\begin{displaymath} \Delta = (\frac12)^2+(\frac{-3}{3})^3 = \frac14 -1=-\frac34 \end{displaymath}$

所以
$\begin{displaymath} u = \frac12 + \frac{\sqrt3}2\,i\quad v = -\frac12 + \frac{\sqrt3}2\,i \end{displaymath}$

上面那兩個數很面熟嗎？它們是 60 度角的餘弦和正弦值： $\cos60^\circ=1/2$ 而 $\sin60^\circ=\sqrt3/2$ 。所以 $u=\cos60^\circ+i\,\sin60^\circ$ 而 $v=-\cos60^\circ+i\,\sin60^\circ$ 。
記得棣美弗定律嗎？他說
$\begin{displaymath} (\cos\theta + i\,\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\,\sin n\theta \end{displaymath}$

高中時代只討論了正整數的指數 n，其實 n 也可以是分數。它跟「數學中最美的等式」只有一丘之隔了，我們還會另外講它。現在您只要驗證 n=1/2 的情況，就請您相信 n 是任意分數都行吧：因為
$\begin{displaymath} (\cos\frac{\theta}2 + i\,\sin\frac{\theta}2)^2 = \Bigl(\cos^...2\Bigr) + i\,\Bigl(2\sin\frac{\theta}2\cos\frac{\theta}2\Bigr) \end{displaymath}$

根據倍角公式，等式的右邊就是 $\cos\theta + i\,\sin\theta$ ，這就驗證了 n=1/2 的情況。
現在我們應用 n=1/3 的棣美弗定律來計算
$\begin{displaymath} x=u^{1/3}-v^{1/3} =(\cos20^\circ +i\,\sin20^\circ)-(-\cos20^\circ+i\,\sin20^\circ) =2\cos20^\circ \end{displaymath}$

這就是的一個根。利用 $60^\circ$ 的兩個同界角 $60^\circ+360^\circ$ 和 $60^\circ+720^\circ$ 的 1/3，我們得到另外兩個根 $2\cos140^\circ$ 和 $2\cos260^\circ$ 。這三個根的數值大約是 -0.35, -1.53 和 1.88，您可以對照上述網頁圖二的紫色曲線。
我希望上面的例子順便表現出一種學習廣義角的動機與需求。下個月我們回到三角函數，解釋像 $\cos60^\circ$ 這種數值是怎麼算出來的？

[ 回上層 ]

Back to the home page of Wei-Chang Shann.
Connect to the home page of Department of Mathematics, National Central University, Taiwan.

shann@math.ncu.edu.tw