| 科學月刊【數‧生活與學習】專欄 | 97 年 4 月 |
教育部於97年1月24日，以台中（一）字第0970011604B號文發布了 《普通高級中學課程綱要》，因為訂於98學年開始實施，所以簡稱為98課綱。 整份文件已經公布，筆者不清楚要如何取得實體文件， 然而讀者可由 教育部中教司 下載 PDF 檔案。 文件涵蓋了所有必修與選修的高中課程，包括「形象管理與時尚」 和「性愛與婚姻倫理」等 58 種課程的綱要，內文共有 438 頁； 其中第 43--84 頁是數學科的綱要。 筆者個人覺得瀏覽這部文件還蠻有趣的，像是瀏覽一部小小的初級百科全書。 我想，這也反映了我們社會對於教育內容的看法：簡言之就是「百科全書」式的教育， 而不是「核心能力」的教育。很難說哪種哲學比較好， 只要施行的步驟與方法能夠支持那種教育哲學的實踐， 總有一部份的國民在某個人生的階段能夠蒙受其益。
但是，在百科全書的大氛圍之內，數學綱要的精神卻是專注於核心能力的。 在外部約定的時數範圍內，此綱要盡量維持課程內容的實用性，並且盡量針對目標： 為大學的微積分、線性代數與統計課程做準備。本欄在去年 11 月已經為讀者做過 98 數學課綱的簡報，在更早的五月份《三角二三事》裡， 也順便闡述了三角函數主題被拆成兩段課程來學習的理念與作法。 98 課綱不堅持主題式的安排， 也就是一次教完一整個主題，而將部分課題拆成兩三個段落， 依需求的緩急與學生能力的成長而分段授課。 有人說後者是螺旋式的課程設計，但我個人倒不認為 98 課綱有如此的複雜程度， 它只拆散了少數幾個課題而已。
另一個被拆散的課題是「等比級數」，分別在高一上學期、下學期和高三下學期， 分三次學習。在上述文件中，關於等比級數的條目有：數學Ⅰ 〈5.3 等比數列與等比級數〉， 數學Ⅱ〈2.1介紹Σ符號及其基本操作〉， 選修數學甲Ⅱ〈1.3 無窮等比級數、循環小數〉與選修數學乙Ⅱ〈2.無窮等比級數〉。 在發展的邏輯上，高中一年級從固定指數而變化底數的單項冪函數開始， 擴及多項式函數與方程式；接著複習並深化指數律， 然後探討固定底數而變化指數的指數函數。 等比數列以一種指數函數的特例被引進，這階段只討論有限多項之求和問題。 然後介紹有效記錄級數的Σ符號，並熟練其基本操作。 最後，在三年級的選修數學（不在學測範圍內）探討無窮與極限的章節中， 才處理無窮多項的等比級數問題。
98課綱關於等比級數的新設計，牽動另一個課題的分段教學：無窮循環小數。 因為無窮等比級數推遲到高三才講，所以在高一上學期介紹有理數的時候， 就不能「證明」無窮循環小數等於一個分數。數學課程綱要表明， 在數學Ⅰ僅「告知」此事實即可，到了選修數學甲Ⅱ或乙Ⅱ才證明它。
這種僅只「告知」的教學策略由來已久， 例如長期以來在我國高中課程內的「代數基本定理」 （n 次多項方程式必有 n 個複數根），即僅止於告知而沒有證明。 新課程將所有關於無窮與極限的概念全部集中在選修數學， 並不影響學生對於實數、多項式函數與指對數函數的認識與操作， 同時又減緩了學習的坡度。 要理解分數等於有限小數或無窮循環小數則不困難。先把假分數換成帶分數， 就已經處理了整數部分，因此我們可以只考慮真分數。例如 16/3＝5＋1/3 其小數部分僅由 1/3 決定。所以現在可以僅限於討論 m、n 皆為正整數且 n<m 的分數 n/m，它的等值小數就是 n÷m 的結果。 執行直式除法，按照規定每一步驟的餘數 k 都必須限制在 0≦k＜m 的範圍內。 如果恰有一個步驟的餘數是 0，那很好，n/m 等於一個有限小數。 讀者可以進一步明白，只有當分母 m 僅有 2 和 5 兩種質因數的時候， n/m 才會是有限小數。如果每一個步驟的餘數都不是 0， 則它只有 1, 2, …, m-1 這幾種可能，所以至多到了第 m 個步驟， 餘數就會重複出現，而商的循環就此開始了。 重複出現的最短數串稱為 n/m 的循環節，例如 1/3 的循環節有一位數 3， 1/6 的循環節也只有位數 6。 從上述的觀察，我們知道循環節最多能有 m-1 位數。 例如 1/7 的循環節就達到了頂標六位：142857。 熱愛計算的讀者可以玩玩 1÷17，會得到十六位的循環節 0588235294117647。
至於反過來要理解 0.3循環＝1/3 則比較需要數學思維。 以前的講法是正式地透過無窮等比級數的求和。 其實，大部分學生不見得在高一就能理解無窮和的極限意義， 而僅止於模仿公式的操作而已。 許多教師知道如何用代數方法計算無窮循環小數的等值分數。 以 0.3循環為例，令 x＝0.3循環，則 10x＝3＋x，所以 9x=3， 所以 x＝1/3 也就是 0.3循環＝1/3。 有些教師則擔心這種教法會誤導學生而不敢使用。 其實不必多慮，這種教法並沒有說謊也不是誤導，只是略過一個技術性細節沒講而已： 先證明循環小數必然收斂，前述作法就是正確的。 而我們知道循環小數沒有不收斂的，所以暫時不告訴學生全部的事實， 並沒有誤導：學生將來只須增加觀念，不須修改觀念。
就好像一個小小孩問媽媽：「我從哪裡來」，媽媽如果回答「一隻鳥把妳叼到家門口， 我把妳撿進來的」就是誤導（對大部分的家庭而言）， 媽媽如果回答「天使把妳放進我的肚子裡，我辛苦把妳懷到夠大之後才生出來」 並不算說謊，只是隱瞞了一點技術性的細節而已。 前述尋找循環小數之等值分數的代數作法，就像第二種媽媽的回答。
事實上高中數學課程還隱藏著一個問題，即所謂像2的平方根那種無理數， 總是被描述成無窮而不循環的小數。這樣的「無窮」小數究竟是何意義？ 何以它能夠「是」一個實數？認真處理這個問題就必須訴諸於實數的完備性， 而這個概念在高中課程裡隻字未提。 根據不同的教育哲學，我們可以選擇對待無窮循環小數的嚴謹程度。 我想這並沒有客觀的對錯，重要的是內部的一致性。 想想我們對待代數基本定理和實數完備性的態度， 似乎對無窮循環小數這個課題太嚴謹了一點。
[ 回上層 ]