理性的信仰

$\sqrt2$ 是個代數符號，代表那個平方等於 2 的正數，而正數的具體意義就是某個直線段的長度。這裡說的線段是指心靈上認知的「理想」線段，它沒有寬度，而從端點到線段上任何一點的長度都是一個獨特的正數。就好像『道可道，非常道』的意思，一個道理只要說出來就不是真正的道理，一條線段只要畫出來就不是真正的線段了。如果不了解這個抽象層面，就難以理解數學和科學與工程之間的差異，也難以理解數學對於像 $\sqrt2$ 這種數的需求。
為甚麼必定存在一個平方等於 2 的正數？數學課程通常訴諸於畢氏定理，或者宣稱有一個面積為 2 的正方形。其實不必經過像畢氏定理這麼偉大的抽象概念，就能闡述 $\sqrt2$ 的存在。（但是，在課程中引入畢氏定理當然有它本身的必要性。）任意規定一個代表 1 的長度，定義以它為邊長的正方形面積是 1。沿正方形的對角線將它切成兩個三角形，它們的面積各是 1/2。這並不需要三角形面積公式：其實許多人可能不知道那個公式怎麼來的。這只是因為那兩片三角形能夠重疊 (數學術語稱之為 SAS 全等)，所以面積相等，所以各是正方形面積的一半。
為甚麼兩個重疊的圖形必然面積相等？這當然牽涉到「重疊」、「面積」和「相等」的意義。絕大多數的讀者可能認為這是人們與生俱來的本能，只要闡述上面三個詞的意義，天下人都必然會接受。其實這可能是因為我們從小接受了所謂現代化的教育：這個觀念是習得的，而不是生來的。仔細思考，其實我們沒有更先驗的理由來證實這個觀念：圖形重疊則面積相等。人類學或者兒童認知發展的學者，已經告訴我們這並不是每個人必然會有的認知，也不是所有社會都會接受的思維方式。歐幾里得那個時代的希臘，可能有著另一類的思維主義，所以他把這個觀念定為「公理」(Common Notions)。這是《幾何原本》 (Elements) 宣示的五條公理之第四條。歐氏邀請那些接受這些公理的人讀下去，至於那些不接受的人，這本書對他來說僅是一派胡言，當然就沒必要讀下去了。
所以，圖形重疊則面積相等，這是我們在非常早期養成的一個「信仰」。就算沒這個信仰，我們仍然可以把它當作定義。所謂定義就是遊戲規則，按一套規則能夠完一套遊戲，換了規則就換了遊戲。規則沒有客觀的對或錯，反正只要規則不自相矛盾，就能玩下去。總之，不論是信仰或定義，就接受前面製作的三角形面積是 1/2 吧。四片這樣的三角形背靠背拼成另一個平面圖形，有好幾種方式可以推論它是正方形，我略過不談。新的正方形的面積是四個 1/2，也就是面積為 2。按照正方形面積的定義，它的邊長就是平方等於 2 的正數。
如果那個平方等於 2 的數是一個分數 n/m，其中 n 和 m 都是自然數 (也就是正整數)。根據我們非常確定的自然數計算法則，我們可以「約掉」n 和 m 共同的因數 2 (如果有的話)，直到它們不再同時是偶數為止。那麼因為 (n/m)²=2，根據我們非常確定的分數計算法則，這就是說
$\begin{displaymath} 2m^2=n^2 \end{displaymath}$
如果 n 是奇數，則 n² 也是奇數，所以
偶數 $\begin{displaymath} \quad\rightarrow\quad 2m^2\not=n^2\quad\leftarrow\quad \end{displaymath}$ 奇數
不合，所以 n 不能是奇數。n 不是奇數所以就是偶數，所以 n 被 2 整除而 m 是奇數；如果 $n\div2=k$ ，則 n=2k，所以 2m²=4k²。這就不妙了，因為等式兩側可以同除以 2 而得到
奇數 $\begin{displaymath} \quad\rightarrow\quad m^2\not=2k^2\quad\leftarrow\quad \end{displaymath}$ 偶數
又不合。所以 n 也不能不是奇數。
我們不接受 n 既不能是奇數也不能不是奇數。因為自然數的計算都是非常具體而毫無疑問的，害我們陷於這種窘境的原因是假設了 (n/m)²=2，所以只好承認假設是錯的，因此 $\sqrt2$ 不等於任何分數。分數和整數合稱為有理數 (rational)，所以 $\sqrt2$ 不是有理數，應該稱為「非有理數」(irrational)。就中文的傳統修辭而言，「非有」並不是「無」，在「有」與「無」之間還有許多可能，但是早期的譯者卻採用了非常「理性」的文字對仗，把「非有理數」翻譯成「無理數」。這個不幸的翻譯好像說 $\sqrt2$ 是個無理取鬧不肯合作的數。
前面的論述起碼表現了另一個「信仰」：一個對象不可以既不能是又不能不是。在東方傳統中，經常出現這種既不能是也不能不是，或者既可以是也可以不是的思維方式。如今，拒絕承認這種可能的信仰，被稱為「理性」。這種信仰可能在歐幾里德的時代已經成形了，因為，歐氏認為需要特別標示「直角皆相等」和「重疊即相等」這些觀念，卻在沒有任何宣示的前提下自然地以「理性」的思維方式做了證明。這種信仰成為思維的基礎，不能靠著技術性的定義來解釋。就科學文明的結果來看，理性思維的成就似乎高過其他思維方式，但是人們畢竟存在著其他的思維方式。
不「理性」的思維能夠獲致任何結論嗎？我的想像力不足以讓我舉一個新的例子，但是不要忘了微積分早期的歷史故事：那個神秘而被譏諷為「消逝的鬼魂」的無窮小量 dx。例如 y=x² 的切線斜率可以做以下計算，這時候 dx 不是 0 所以能成為分母也能做約分：
$\begin{displaymath} {(x+dx)^2-x^2\over dx}={(x^2-2x\cdot dx + (dx)^2)-x^2\over dx}=2x+dx \end{displaymath}$
但是 dx 又是 0，所以 y=x² 的切線斜率就是 2x。這個 dx 既可以是 0 也可以不是 0，它的是或不是隨著操作者心靈的洞察而改變。這項微積分早期的不理性污點已經被極限概念抹去了，雖然有所謂「非標準分析」想要替它翻案，卻一直不被主流的數學社群接受。可是在極限概念取代 dx 演算之前，微積分已經很健康而且很豐沃地發展了一百多年。二十世紀初，出現一種很特別的函數 $\delta(x)$ ，它在原點以外的值全都是 0，但是它與 x 軸所夾的面積卻是 1。這又是一個既是 0 又不是 0 的例子，後來被「廣義函數」理論收納。
現在，當「理性」成為教育體系中唯一被認可的思維方式，或許只有那些最勇敢最有創意的人，才能同時掌握兩種不同的思維方式吧。

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