-8 的立方根

在一個高中數學教師的研習當中，有人問 $\root3\of{-8}$ 不就是 -2 嗎？為什麼用電腦軟體算出來一個奇怪的複數？在過去十年當中，我曾經多次被工程師和理工資電各系的大學生問過同樣的問題。簡單的回覆是：-2 是的一個解，但它不是 $\root3\of{-8}$ 。其實 $\root3\of{-8}=(-8)^{1/3}=1+\sqrt3i$ 。
某些電腦軟體 (例如 Matlab) 回應的所謂「奇怪的複數」大約是 1+1.7321i，就是 $1+\sqrt3i$ 的近似值。同理，在這些軟體上計算 $(-1)^{1/3}$ 也不會得到 -1，而是 0.5000 + 0.8660i。我想這個問題大約就發生在中學教育階段。中學教師可能都告訴學生：的正解就「是」 $\sqrt2$ ，因此自然地推論的正解就「是」 $\root3\of2$ 。如果沒有小心地規範，學生 (可能也包括某些教師) 很自然地「推廣」這個概念，認為既然 -1 是的一個解，那麼 $\root3\of{-1}$ 就「是」-1。我在大學所負責的數學課程當中，並沒有適合講解這個問題的機會，所以把它寫在為電腦軟體 Matlab 寫的線上教材裡面 [1]。以下讓我仔細說明這個問題。
話說從頭。是所謂的次方計算，其中 a 稱為底數， x 稱為指數。只有當 x 是正整數 (也就是自然數) 的時候，次方計算才有「具體」的意義：就是 x 個 a 自我相乘；例如 $(-2)^3=(-2)\times(-2)\times(-2)=-8$ 。從這種「具體」的次方計算，我們獲得兩個常用的計算規則，統稱為指數律：加法律 (亦即 $a^xa^y=a^{x+y}$ ) 和乘法律 (亦即 $(a^x)^y=a^{xy}$ )。根據次方計算的具體意義，這兩個規律都是顯而易見的 (以上的 x 和 y 都是正整數)。
我們也可以說，上帝創造了自然數指數，其他指數是人的發明。既然是人的發明，當然由我們自己決定它的性質。而我們當然需要它具備合理而好用的性質。在數學發展的邏輯上，我們並不是先知道了非自然數的指數計算規則，然後才「發現」它們也滿足上述三條指數律。而是，相反地，我們是為了讓非自然數的指數計算滿足上述兩條指數律，而規定了它們的指數計算規則。用電腦術語來說，數學是一門著重「相容性」的學問；當我們要把指數從正整數「升級」到其他種類的數時，刻意保持與正整數指數的「相容性」。具體而言，就是要其他種類的指數計算符合指數的加法律和乘法律。
首先推廣指數到零。為了滿足指數的加法律，必須 $a^na^0=a^{n+0}=a^n$ (n 是正整數)。當 $a\not=0$ ，等號兩邊同除以而得到。所以我們規定：當 $a\not=0$ 則，而無定義。到了微積分課程，我們說是不定形式。再將指數推廣到負整數。還是為了滿足加法律，必須 $a^na^{-n}=a^{n-n}=a^0$ 。而只有當 $a\not=0$ 時才有意義，所以規定：當 $a\not=0$ 則 $\displaystyle a^{-n}={1\over a^n}$ ，而 $0^{-n}$ 沒有意義 (又稱不存在)。
把指數「升級」到有理數以前，我們再仔細想想，在數學發展的邏輯上，也不是先有方程式和，然後指定它們的正根是 $\sqrt2$ 和 $\root3\of2$ 。而是，相反地，人們先有 $\sqrt2$ 和 $\root3\of2$ 的概念：它們分別是面積為 2 和體積為 2 的正方形和正方體的邊長，然後「發現」它們是方程式和的正根。在正方形和正方體邊長的具體意義之下， $\sqrt{a}$ 和 $\root3\of a$ 本來就只對正數 a 是有意義的。對於超過 3 的正整數 n， $\root n\of a$ 的確是由方程式的正解推廣而來。但是，延續 $\sqrt{a}$ 和 $\root3\of a$ 的意義， $\root n\of a$ 也應該只對 a>0 才有意義。也就是說，的正解作為 $\root n\of a$ 的定義，僅限於 a>0 的情況。這一點，在 98 數學課程綱要中 (正式文件 [2] 第 54 頁) 有明確的交代。
為了滿足指數的乘法律，因為 $(a^{1/n})^n=a^{n/n}=a$ ，所以定義 $a^{1/n}=\root n\of a$ 。而一般的有理數指數就依乘法律定義成 $a^{m/n}=(a^{1/n})^m=\root n\of{a^m}$ 。這樣一來，根數就必須與另一種數學物件相容：指數函數。因為 $\root n\of a$ 是當 x 為單位分數的特例，而指數函數也只討論 a>0 的狀況，所以從這個角度也能看出來： $\root n\of a$ 應該限定 a>0 (我們不討論 a=0 這種無聊的狀況了)。
我們可以從實務面了解：為何指數函數限定 a>0？在實務上，指數函數描述按比例成長或衰退的現象，當底數 a>1 代表成長，0<a<1 代表衰退。當我們說經濟成長率是「負3%」，字面上雖然有「負」數，意思其實是說成長率是前一期的 0.97 倍。那些語言上看起來是「負」的衰退問題，其實對應的是以 0<a<1 為底的指數函數。
但是，到此為止，我們都假設在實數範圍內討論問題。如果「升級」到複數，將會有全新的視野。這就是以下將要說明的。
照以上的說法， $\root3\of{-8}$ 本來就不該存在。是的，大多數計算器、計算軟體和程式語言 (例如 C 和 Fortran)，不接受指數不是整數的負數次方運算，這是正確的。那麼，為甚麼有些「專業」的數學軟體，會計算 $\root3\of{-8}$ 呢？那是因為它們太過專業，自動把次方轉換成指對數的計算： $a^x=\exp(x\ln a)$ (參閱本欄 95 年 12 月《次方計算》)，而又自動把指數與對數函數的定義域擴展到複數，所以包括負數。在那些軟體裡， $\root3\of{-8}$ 其實是 $\exp(\ln(-8)/3)$ 。 (專業軟體都以單位圓的弧長度量角、以自然對數當作標準的對數函數；參閱本欄 96 年 2 月《第五常數》。)
若 a 是一個非零複數，令 $r=\vert a\vert>0$ 是 a 的長度而 $\theta$ 是它的主幅角，則因為
$\begin{displaymath} \exp(\ln r + i\theta)=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)=a \end{displaymath}$
(參閱本欄 96 年 8 月《數學中最美的等式》)，所以
$\begin{displaymath} \ln a = \ln r + i\theta \end{displaymath}$
當 a 是正數，則而 $\theta=0$ ，可見以上「升級」到複數的對數函數與實數版本的相容。而 -8 的長度是 8，主幅角是 $\pi$ ，所以 $\ln(-8)=3\ln2 + i\pi$ 而
$\begin{displaymath} (-8)^{1/3}=\exp(\ln2+i{\pi\over3})=2(\cos{\pi\over 3}+i\sin{\pi\over3})=1+\sqrt3i \end{displaymath}$
這就是在第一段所指出的計算結果。
按照次方計算需與指數函數「相容」的邏輯，就連負數的整數次方都不該討論。但是因為整數次方的自乘意義非常具體而且由來已久，大家不知不覺地就這樣做了，並沒有察覺它的怪異。這彷彿是說，負數的整次方計算是一種「例外」。大家都知道，數學不是個講究例外的學科。其實，把指數與對數函數擴展到複數之後，負數的整數次方在數學內部是一致的。當 a<0 而 n 是正整數，則 $\ln a=\ln(-\vert a\vert)=\ln\vert a\vert + i\pi$ ，所以
$\begin{displaymath} a^n=\exp(\ln\vert a\vert^n + n\pi i)=\vert a\vert^n\cos(n\pi)=(-1)^n\vert a\vert^n \end{displaymath}$
這和 a 自乘 n 次的結果是一致的；同理也可以推論 $a^{-n}=(-1)^n/\vert a\vert^n$ 。所以負數之整數次方計算規則並非例外，只是我們以初級方法「恰好」能夠處理的一個高級計算問題罷了。
參考資料

計算機概論 16 講，第 B 講 Matlab 線上教材 http://libai.math.ncu.edu.tw/bcc16/B/matlab/
教育部台中 (一) 字第 0970011604B 號，《普通高級中學課程綱要》

【註】以上灰色底的數學式圖片，乃因為軟體操作不當，沒有特殊意義，將其視為白底即可。

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