【 1997 年 8 月 18--28 日, 我到湖南湘潭大學參加一場暑期研討會, 主題是多重
   網格與區域分解算法, 由我的導師許進超教授主講.  我在其中擔任凌波函數理論
   (wavelets) 的講員, 授課八小時.  在那裡我認識了幾位大陸上的數學研究工作者,
   其中有一些還是研究生.  下面是我回其中一位同學的問題.  內容是討論數學與物理
   之間的關係問題---比較籠統的觀點.
】   

張理論同學,

在我們搭乘出租汽車從湘潭大學到湘江渡船頭的路上, 你提起一個很有意義的數學
哲學問題.  當時我沒有什麼好的回答, 因為我是個反應很慢的人.  在離開長沙的
飛機上, 我重新想起這個問題: 是否因為 wavelets 沒有明顯的物理意義, 或是沒
有對應物理中的現象, 而將使得它注定是個無效的工具?

仔細思考之後, 我希望從兩個方面來回答這個問題.  第一方面是比較具體的.  其實
wavelets 並非沒有物理意義, 只是我不清楚而已.  在 wavelet 理論發展之初就已經
有物理學界的人加入.  例如著名的 Battle-Lemarie wavelets (將 B-spline 正交化
所造成的 wavelets) 之中的 Battle 就是美國德州農工大學的物理系教授, 在九十年
代初期我就聽說過 wavelets 在量子力學中的應用, 還有它與物理中所謂
renormalization group 方法的對應性.  這些都是我不懂的事情, 如果你可以在長沙
附近找到學者來為你解答這些問題, 那是最好的了.  否則, 我只能介紹一些較早期的
文章給你參考.

(1) Ruskai, Beylkin 等人編輯的 Wavelets and their applications, 1992 出版,
    裡面收錄了兩篇文章: ``Wavelets and quantum mechanics''  和 ``Wavelets:
    A renormalization group point of view.''
    
(2) Kaiser 寫的書 A friendly guide to wavelets, 1994 出版, 其中第二部分是
    ``Physical wavelets,'' 包括三章: ``Introduction to wavelet
    electromagnetics,'' ``Applications to radar and scattering,'' ``Wavelet
    acoustics.''

第二方面的回答是比較哲學的.  在我的知識範圍內搜尋, 我發現歷史上並沒有什麼
科學上的發現, 是先有物理觀察和物理上的目的, 才發展了其對應的數學理論 (和工具).
比如說, 牛頓的行星理論發展在圓錐曲線與平面幾何之後, 電磁波理論發展在微積分
和複變函數之後, 相對論發展在非歐幾何和張量場論之後.  有人說, 最近的超弦理論
的發展瓶頸, 就在於它所需要的數學工具還沒有完備.  我所知道的比較重要的例外,
是 unit implus 函數 (delta 函數) 的使用; 這是先由物理學者開始使用, 隨後數學
才將其正身的.

數學 (和計算機科學) 是科學之中不能被歸類為自然科學的學問.  例如物理, 化學,
生物, 地質氣象等等, 都是自然科學.  自然科學研究的對象是自然, 它們是已經
存在的, 已經有其運行的規則.  人類只能就其觀察得到的現象, 尋找其所能理解
的解釋, 並且用其所能理解的工具來描述, 預測, 或測量這些自然現象.  在這個領域
裡面, 很明顯地, 沒有任何絕對肯定的真理.  就像地球不會因為第七世紀的科學家
認為它是平的, 它就變成平的.  黃金不會因為第十世紀的煉金術士 (早期的化學家)
的理論, 而能從鉛粉與水銀中提煉.  早期的所有電學理論都假設電流從正流到負,
一直到一百多年前發現其實是相反的.  牛頓即使英明, 但是在他的腦筋裡面, 從來
沒有想過, 他抬頭看到的星光可能是幾百年前發射的.  霍普金斯在他的時間簡史那
本書裡說了, ``所有的物理理論都是假設, 都等待著某一天被更新的觀察或理論推翻.''

我的意思是, 自然科學家 (包括物理學家) 都在為其研究的自然對象找尋人類所能
理解的模型.  那些自然現象是不能被改變的, 它們不會將就於人類的模型.  而人類
所能理解的模型, 無非就是借用數學來表達, 來推衍.  如果我們所有的觀察資料都與
當前的模型吻合, 那麼我們假設這個模型是對的.  有些人就會說, 這個模型背後的數
學是有物理意義的.  不過這個說法未必是公平的, 因為數學本來就存在, 自然現象本
來就存在, 只是有時候恰好某種數學可以被拿來作為某種自然現象的模型罷了.  而模
型永遠只是模型, 它不是真理.  只要有一天發現了一個不符合這個模型的現象 (只要
一個就足夠), 這個模型就錯了.  牛頓的模型取代了千年來被相信的阿里斯多德模型,
愛因斯坦的模型取代了百年來被相信的牛頓模型.  人們為什麼要這麼肯定愛因斯坦的
模型就必定是對的呢?  其實在理論物理之中有個大問題, 那就是相對論和量子論的不
一致性.  在大尺度之下, 相對論模型符合觀察而量子論模型不符合觀察; 反過來, 在
小尺度之下, 相對論模型不符合觀察而量子論模型符合觀察.  所以要不就是相對論和
量子論之間有一個是錯的, 要不就是有一個所謂的大一統理論還沒有被發現.  據說
愛因斯坦一直到死前還在做這方面的研究.

相對的, 數學 (和計算機科學) 研究的是純粹人造的對象.  在這個範圍裡面, 存在著
絕對的真理.  數學家研究的對象可以有用, 可以沒有用.  但是歷代的重要數學家總有
一種直覺, 將比較 ``有用'' 的數學流傳了下來.  (Hardy 曾經說他是怎樣判斷哪樣
的數學是好的: 那就是, 好的必定是美的; 如果一個數學命題連美感都沒有, 那它必定
一無是處.)  但是基本上數學有其內在的結構和必定性, 它不必依靠任何自然現象來
肯定它自己的價值.

因此我要做一個大膽的假設.  要說 wavelets 沒有物理意義, 不如說自然科學家還
沒有充分理解 wavelets 理論.  既然自然科學家還不能有效地掌握 wavelets 理論,
當然就還沒有能力利用這個新的工具去建構某些自然現象的模型.

一九九七年九月十一日