\documentclass[12pt]{article}
\newcommand{\tf}{\texttt}
\title{計算機概論 II---Matlab 習題}
\author{單維彰}
\date{June 16, 1999}
\begin{document}
\maketitle
\noindent 以下問題可以藉用各種工具解決, 但是請大家試著使用 Matlab 來做.

\begin{enumerate}
\item 用牛頓法求 
$$
\cos x =\frac{1}{8}
$$ 
的根, 準確到小數點下第四位. 其中 $x$ 是弧度量, $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$. 

\item 計算
$$
\int_0^1 \sqrt{1+x^3}\,dx
$$
準確到小數點下第四位. 

\item 利用 \tf{plot} 指令畫出單位圓 $x^2+y^2=1$ 的圖形. 提醒您,
方法之一是運用圓的參數式
$x=\cos t$, $y=\sin t$, $0\leq t\leq 2\pi$.

\item 利用 \tf{help} 檢查 \tf{roots} 指令的使用方法, 然後求 $4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x +1=0$
的所有根. 

\item 隨便給一個序列 \tf{x}, 假設 \tf{x} 的元素個數是 $N$. 寫一段程式, 若 $N$ 為偶數,
找出 \tf{x} 中排序在第 $\frac{N}{2}$ 位置的數,
否則找出排序在第 $\frac{N+1}{2}$ 位置的數. 

\item 令 \tf{A} 是一個維度 $m\times n$ 的矩陣. 解釋 \tf{max(A)} 和 \tf{min(max(A))}
分別是什麼意思？

\item 令 \tf{x} 是一個維度 $n$ 的向量. 解釋 \tf{find(x > 0.8*max(x))} 是什麼意思？

\item 令 \tf{A} 是一個維度 $m\times n$ 的矩陣. 寫一段程式, 找出 \tf{A} 中有哪些列 (row)
符合以下性質: 第 $j$ 列中的元素平均值 (mean) 超過整個矩陣的平均值.
提醒您用 \tf{help} 去學習一些相關指令的技巧. 

\item 令 \tf{x=[2 3 5 6]} 和 \tf{y=-1:2} 而 \tf{z = x.\^{}y} 解釋 \tf{z} 的值是什麼？

\item 令 \tf{A} 是一個維度 $m\times n$ 的矩陣. 寫一段程式,
算出 \tf{A} 的第一列與第一行的所有元素和. 

\item 令 $n$ 為任意正整數. 寫一段程式, 產生一個 $n\times n$ 的方陣,
它的對角線元素都是 2,
在對角線上一條及下一條的兩條次對角線上都是 $-1$, 其他元素都是 0.

\item 考慮遞迴公式 $x_{n+1} = x_n(1-x_n)$, 其中 $x_0$ 是初始值,
而且 $0\leq x_0\leq 1$.
實驗用幾種不同的初始值來開始這個遞迴公式, 試著將您的觀察作成結論. 

\item 令 \tf{x} 是一個維度 $n$ 的向量, \tf{k} 是一個常數. 寫一段程式,
算出 \tf{x} 中數值不小於 \tf{k} 的所有元素之平均值. 

\item 令 \tf{x} 是一個維度 $n$ 的向量, \tf{s} 是一個常數. 寫一段程式,
將 \tf{x} 中絕對值小於 \tf{s} 的元素全部變成 0, 而保留其他的元素不動. 

\item 用 Matlab 計算 $(-1)^{\frac{1}{3}}$ 的值, 並解釋其答案. 
\end{enumerate}

\end{document}
