多項式

把有限多個冪數為非負整數的冪函數加在一起，就成了多項式函數，經常就簡稱為多項式。把冪數相同的合併，就稱為一項 (term)，每一項所乘的常數，稱為它的係數 (coefficient)。多項式的一般形式如下：

其中冪數最高的那一項，稱為首項 (leading term)，它的係數稱為 首項係數 (leading coefficient)。一般來說，係數可以是 0，但是首項係數當然不是 0。首項的冪數 n 稱為這個多項式的階數 (degree)。 a₀ 稱為常數項，它也是冪數為 0 那一項的係數。

壹階多項式也就是線性函數。零階多項式也就是常數函數。如果那個常數是零，則特別稱為零多項式。

理論上，多項式的階數可以任意大 (但是不能是無窮大)。但是實際應用上，很少需要高階多項式。以下舉兩個例子。

物理例子: 以每秒 15 公尺的初速度垂直向上拋一個棒球，則球的高度 y 與時間 x 之間的關係，就大約是一個二階多項式：
經濟例子: 商品的銷售量經常和價格有關。在不太大的變化範圍內，銷售量 q 與價格 p 之間的供需關係假設是線性函數。而收入 (revenue) R 則是 R = p q。所以收入 R 就是價格 p 的二階多項式。
例如，某大學附近的二輪電影院，發現如果票價 50 元，則大約售出 40 張票；如果降價到票價 35 元，則可以售出 60 張票。利用這兩個資料，估計出

那麼收入就是

從以下圖形可以看出，票價大約在 40 元左右時，達到最大收入。

R 和 p 的函數曲線圖

關於多項式的操作技能，我們在中學都受到非常多的訓練，現在倒是不必擔心的。以下只是提醒一些基本的事實。

多項式等式的解，稱為此多項式的根 (root)。回憶基本的根與係數關係。
如果考慮複數 (complex number)，則一個 n 階多項式必定有 n 個。如果有一個根是複數，則它的共軛複數 (complex conjugate) 必定也是一個根；換句話說，複數根必定成對出現。例如一個三階多項式不可能有兩個實根、一個複根的情況發生。
兩個多項式相乘，結果還是多項式，相乘後的階數是原階數的和。回憶多項式乘法的算法。
兩個多項式相除，會得到商式和餘式。餘式的階數必定比除式小。回憶多項式除法的算法。
如果

稱和是的因式 (factor)。
設法找到因式的計算，稱為因式分解。回憶基本的因式分解，例如
如果 r 是某多項式的一個根，則此多項式必定有一個因式 x - r。
多項式的每個實根對應其曲線與 x 軸的一個交點。所以 n 階多項式至多與橫軸有 n 個交點，而且它至多上下轉折 n - 1 次。

以下，我們觀察兩個多項式函數曲線。

y = -4*x^3 + 28*x - 24 y = x^4 - 15*x^2 - 15*x

除了零階多項式以外，當 x 很大的時候，多項式的值必定也很大 (或是負數，但絕對值很大)。我們說

當 x 趨於無窮大時，趨於無窮大或負無窮大。

也可以寫成

當

，

或者

。

還可以更簡單地記做

因為當

的時候情況亦類似，所以我們可以總括地說，任何非零階多項式

都有以下性質：

因此，以下兩條曲線都不可能是多項式函數曲線。

以上兩條函數曲線，都有水平漸近線。在符號上，兩個函數分別符合

和

多項式函數曲線一定是連續的。所以，以下曲線不可能是多項式的函數曲線。

在座標平面上給 n + 1 個點（這些點不違背函數曲線的要求），則必定有一個、而且僅有一個、n 階多項式的函數曲線通過這 n + 1 個點。同理，如果兩個 n 階多項式在 n + 1 個點上相等，那麼這兩個多項式就完全相同。例如，只有一個二階多項式會通過 (-1, 1), (0, 0), (1, 1) 這三個點，因此，以下三條曲線，雖然都通過那三點，但是只有一條是二階多項式。

習題

題目
a 和 b 是兩個實數。若 c = a + b i 是多項式的一個根，證明必定有一個二階因式
若一個公司估計某產品的獲利 R 是單價 p 的函數：

請問在單價多少的時候獲利最多？此時獲利多少？
根據物理定律，從地面向上拋出物體，此物的高度 s (拋出點當作 0，以公尺計) 是時間 t (拋出時當作 0，以秒計) 的多項式函數：

其中 g 是引力常數，v₀ 是拋出時的速度，也稱為 初速度 (initial velocity)。請回答以下問題。
1. 多久以後此物會落回到高度 s = 0 處。
2. 它最高能夠到達幾公尺？