冪函數

所謂冪函數就是以下型態的函數

我們已經瞭解，當 p 是正整數的時候， x^p 表示 x 自乘 p 遍。而

我們暫時不討論，當冪數是無理數的時候， 例如 ， 有什麼意義？ 隨著數學知識的增加，我們將會知道它是什麼意義。

我們必須對冪函數的曲線圖形有概念性的瞭解。 現在我們先瞭解 x >= 0 的情況。 大家稍微想想都能瞭解，在此，我們用以下表格和圖形來做個概述。

p > 0 p	0 < x < 1	x > 1
x p	p 越大，x p 越小	p 越大，x p 越大
x -p	p 越大，x -p 越大	p 越大，x -p 越小

y = x^p, p = 4, 2, 1, 1/2, 1/4,	y = x^(-p), p = 4, 2, 1, 1/2, 1/4,

如果 x < 0，則並非對所有的冪數 p， x ^p 都有意義。 如果 n 是個正整數且為偶數，則 x ⁿ 和 x ^-n 都對所有的實數 x 有定義。 而且它們的圖形 對稱 (symmetric) 於 y 軸。觀察以下圖形， 我們看到，當 n 越來越大， x ⁿ 在 原點 (0,0) 附近就越來越扁平。

y = x^n, n = 2, 4, 8	y = x^(-n), n = 2, 4, 8

以上的六個函數圖形，都是 凹向上 (concave up)。

如果 n 是個正整數且為奇數，則 x ⁿ 和 x ^-n 也都對所有的實數 x 有定義。 但是它們的圖形 奇對稱 (anti-symmetric) 於 y 軸。觀察以下圖形， 我們還是看到，當 n 越來越大， x ⁿ 在 x = 0 附近就越來越扁平。

y = x^n, n = 3, 5, 9	y = x^(-n), n = 3, 5, 9

以上的六個函數圖形，當 x > 0 時，都是凹向上； 而當 x < 0 時，都是 凹向下 (concave down)。

從前面的圖中，我們還可以觀察到冪函數曲線的幾個特性， 並且可以利用它們來介紹一些名詞。 以下都假設 n 是正整數。

• x ⁿ 對每個實數 x 都有意義， 我們說函數 y = x ⁿ 的 定義域 (domain) 是整個實數 。
• x ^-n 在 。 處都有意義， 我們說函數 y = x ^-n 的定義域是 。
• 若 n 是偶數， 。 只有當 x >= 0 才有意義。 我們說函數 的定義域是 。
• 符號 代表 無窮大 (infinity) 的意思。 我們先對他保持一個直覺的認識。 無窮大不是一個實數。沒有任何函數的值會「是」無窮大， 也沒有任何變數會「等於」無窮大。 這就是為什麼，在 區間 (interval) 符號中， 無窮大那邊用的是開括號，而不是閉括號。
• 順便一提。整個實數集合，記做 也寫成 還有
  
  
  
  
• x ⁿ 的曲線看起來不會斷掉。 我們稱函數 y = x ⁿ 是一個 連續函數 (continuous function)。 連續函數將會是微積分課程中的一個重要概念。 我們現在先對它採取直覺的認識。
• x ^-n 的曲線在 x = 0 處會斷掉。 我們稱函數 y = x ^-n 在實數線上是一個 不連續函數 (discontinuous function)。

一個特例，冪數 p = 0 時，x ^p = 1， 所以這時候冪函數退化成了常數函數。 (是的，我們規定 0⁰ = 1。)

習題

1. 題目
2. 題目 [HH]
3. 哺乳類動物的表皮面積 S 與體重 M 之間的關係大約是
   
   
   
   其中 k 是比例常數，與物種有關。 如果我們知道一位體重 70 公斤的成人之皮膚面積大約是 18600 平方公分， 請計算 k 大約是多少？ 那麼，一位體重 60 公斤的成人之皮膚面積大約是多少？ [HH]
4. 考慮 y = x ⁿ，n 是正整數。 當 n 非常非常大的時候，您猜想它在 0 < x < 1 範圍內的曲線長度大約是多少？為什麼這樣猜？