兩個多項式相加、減、乘，結果都還是多項式。但是相除就未必了。 如果能夠整除，它就還是一個多項式，否則成為有理函數， 也有人稱之為有理多項式。 這裡所謂的「有理」，只是像有理數的「有理」一樣， 其實是「分數」或是「分式」的意思。 有理函數的一般形式如下：
如果分母 恆不為零，則此有理函數還是連續的。 而且分子的根就是有理函數的根。 如果分子 的階數比分母大，則 在 的表現和多項式類似 參考下面兩張示範圖。 y = (x^3-4*x^2+8)/(x^2+x+1) y = (x^4+x^3-3*x^2-x+2)/(2*x^2+1)
如果分母 恆不為零，但是分子 的階數比分母小，則 在 的時候會越來越接近零。記做 參考下面兩張示範圖。 y = (x^3-4*x^2+8)/(x^4+1) y = (x^4+x^3-3*x^2-x+2)/(x^6+1)
如果分母 恆不為零，而且分子和分母的階數相等，那麼當 則 會越來越接近某個常數，所以它的圖形也就會越來越接近一條水平線， 我們稱之為水平 漸近線 (asymptotic line)。 在這個意義之下，前面所說分子的階數小於分母階數的情形， 也就是把 x 軸當作了漸近線。 參考下面兩張示範圖。 y = x^2/(x^2+1) y = x^3/(abs(x)^3+1) 左邊的函數 右邊的函數
如果分母 有根，那就會發生更為有趣的現象了。 因為如果分子與分母在同一點 x = a 處有根， 則表示分子與分母有公因式 (x - a)， 那就可以消掉。因此，我們可以假設，分子和分母沒有共同的根。
如果分母在 x = a 處有根， 則函數 在 x = a 處無意義，當 x 越來越靠近 a 的時候， 的絕對值會越來越大。記做 我們稱 x = a 這條垂直線是 的垂直漸近線。 參考下面兩張示範圖。 y = x^2/(x^2-1) y = (x^3-36*x)/(x^2-9) 簡單地說， 當分子有根的時候，函數就與 x 軸相交。 當分母有根的時候，函數就有垂直漸近線。 當分子與分母階數相同的時候，函數就有水平漸近線。
至此，我們瞭解，若 p > 0， 冪函數 x -p 就相當於一個分子是 1 而分母是 x p 的有理函數。 因此它在 x = 0 處有垂直漸近線。