指數函數

指數函數的基本型態是

以下舉一些指數函數的例子。

經濟的例子

所謂「成長率」是比前期增加的比率。 例如今年的經濟比去年成長了 3% 的意思是， 今年的經濟規模是去年的 1.03 倍。 相反地，如果今年的經濟比去年衰退了 3%，或者說成長了 -3% (負成長)， 意思是今年的經濟規模是去年的 0.97 倍。 如果今後十年每年都維持 3% 的成長，則令今年的經濟規模是 P₀， t 是從今年算起的年數 (今年是 t = 0， 明年是 t = 1，依此類推)，則每年的經濟規模是一個 t 的指數函數：

反之，如果今後十年的經濟規模都維持每年 3% 的負成長，則

由此或可瞭解，何以底數總是正數。

生物的例子

以下是一個頗為簡化的生物增長模型：當食物與空間無限充裕且沒有競爭的時候 (所以顯然在台灣不適用)，一個生物族群的數量可以維持固定的成長率。 例如 1980--1986 年間的墨西哥人口數 (以百萬為單位) 大約每年成長千分之 2.6。而 1980 的墨西哥人口數是 67.38 (百萬)， 則那六年間的人口數大約符合以下函數：

音樂的例子

我們耳朵聽起來相差八度音階的兩個音，其頻率其實是相差一倍： 若一個音的頻率是 a Hz (每秒振動次數)， 則 2a 頻率的音，聽起來高了八度。 所以，如果鋼琴上中央 C 的 Do 頻率是 256 Hz (真實情況差不多如此)， 則低八度的 Do 頻率是 128 Hz，而高八度的 Do 頻率是 512 Hz。 以下是鋼琴鍵盤與頻率的函數關係示意圖，橫軸是鍵盤，縱軸是頻率。

物理的例子

放射性物質有所謂的 半衰期 (half-life)。 所謂半衰期就是衰退到原來的量的一半所需要的時間。 例如碳十四的半衰期是 5730 年，則物質中碳十四的含量 是時間 t (以年為單位) 的指數函數：

其中 是原來的碳十四含量，它是個常數。 考古學家以今天活著的爬蟲類 (或鳥類) 體內的碳十四含量當作 ， 並以恐龍化石中測得的碳十四含量代入上式， 來估計恐龍的年代。

因為 a ⁰ = 1，所以指數函數總是符合 。 在這篇教材裡，我們都只考慮 k > 0 的情形。 所以指數函數 恆為正數。 如果 a > 1，則當 x 越來越大， 也越來越大。但是當 x 越來越小， 就越來越靠近零。記做

y = (1.03)^x	y = (0.97)^x

比較指數函數和冪函數 (只比正數的部分)。簡單地說，

指數函數永遠跑得比冪函數快

y = x^2, y = 2^x	y = x^10, y = 2^x

反過來，如果 0 < a < 1 和 p < 0， 還是指數函數跑得快。 意思是說，只要 x 夠大， 總是會比 更接近零。 看以下兩個例子。

y = 1/x^2, y = (1/2)^x	y = 1/x^10, y = (1/2)^x

所以說，雖然當 0 < a < 1 和 p < 0 的時候

習題

1. 題目
2. 估計鋼琴上最高音的頻率大約是多少？
3. 估計鋼琴上最低音的頻率大約是多少？
4. 人類耳朵據實驗只能聽到 22,000 Hz 以下的聲波。 請問，從鋼琴上中央 C 的 Do 算起，一共能聽到幾個八度音階？
5. 鐳 (266) 的半衰期是 1620 年，請問任何一個含鐳物質放置 500 年後， 它的鐳含量是現在的百分之多少？[HH]
6. 文書編輯的經驗是，每次對一本厚書做校對，可以訂正 80% 的錯誤。 如果一本書的初稿有八十萬字（紅樓夢就差不多有這麼多字）， 假設該作者大約每三千字就會犯一個錯誤。 請問要校對幾遍可以假設沒有錯誤了？
7. 假設某種抗生素在人體內每小時會被代謝排泄掉 40%。 每次注入的劑量是 250 毫克。如果在療程中要保持劑量在 10 毫克以上， 請問每隔多久就應該注入一次？
8. 猜想
   
   
   
   說明為什麼？
9. 猜想
   
   
   
   說明為什麼？