三角函數
直角三角形三個邊的兩兩比值，就定義了六種三角函數。
根據直角三角形的幾何性質，這六個函數其實都可以從一個函數導出來。
因此，之所以要說六個，而不是一個，只是為了應用上的方便。
我們就從那最基礎的一個開始：正弦 函數 (sine)：
正弦函數
當 x 是一個銳角的角度時，sin x 有簡單的幾何意義，如下：
考慮一個以 x 為一夾角的直角三角形，
則 sin x 就是 x 之 (對邊 : 斜邊) 的比值。
因為所有有一個角是 x 的直角三角形都相似，而且我們只關心邊長之間的比值，
所以不必理會各邊的長度。
因此，我們可以隨我們的方便，規定三邊裡其中一邊的邊長
（另外兩邊就自動決定了）。例如，規定斜邊長是 1，參照下圖
角 x 的度量單位，至少有兩種：所謂的角度和弧度。
角度是小學生都知道的，一個圓周等分成 360 分，是為 360 度。
弧度應該是在高中學的，是半徑為 1 的 單位圓 (unit circle) 上，
圓心角為 x 所對的弧長。
因此，同一個角 x，以角度為單位，其數值介於 0 與 360 之間；
以弧度為單位，其數值介於 0 與
高等數學一向採用弧度單位來測量角。
為什麼選擇採用弧度而不用角度？
答案與微積分有關，我們稍後再解釋。
至於 sin x 的值呢？根據畢氏定理，
我們知道幾個特殊角的正弦值。
例如
其他銳角的正弦值，有些可以用半角公式、三倍角公式、積化和差、和差化積等等公式來算。
但是對大多數角的正弦值，是不知道該怎麼算的。
雖然三角函數的那些公式，在兩千年前的希臘文明中，都已經被發現了。
但是計算任意角之正弦值問題，一直要等到十七世紀，與微積分在同一個時代被發現，
而後被併在整個微積分的課題內。
如果角度不是銳角，而是介於
另一種瞭解正弦函數的方式，是想像一個在單位圓上以逆時針方向等角速度旋轉的點 P。
則點 P 的 y 座標與時間的關係，就是正弦函數。參照以下動畫。
以下是
的函數圖形。
| sin(x), x=0..Pi, y=-Pi..Pi
|
|---|
|
注意，我們特別將這張圖的橫座標與縱座標的尺度調成一致，
可以看出正弦波的「起伏」不是很大。觀察
因為 x 的「鄰邊」總是短於「斜邊」，所以其比值總是 <= 1，
這是很容易理解的。
當 x < 0 或是 x > 2*Pi，
我們可以定義「廣義角」。就好像圓周上的點，轉了一圈又一圈，
但是都還是在同一個圓周上。
對於廣義角 x，我們總可以找到唯一的一個整數 n，
使得
那麼，n 就相當於轉的圈數 (以逆時針為正旋轉方向)。
令
Created: Oct 16, 1996![[Fig 26]](../../calcware/figs/fig26.gif)
