週期函數

所謂週期函數，就是函數值會「週而復始」地重複再重複的那一類型函數。目前我們所能舉出來的基本典型，就是三角函數。我們已經知道正弦對於所有廣義角都有意義，而廣義角就像在圓周上轉了一圈又一圈的點，因此廣義角在圓周上所對應的點會週而復始地重複。很自然地，正弦函數值也就週而復始地重複；換句話說，正弦函數是週期函數。又因為所有三角函數都是從正弦函數變化出來的，讀者不難檢驗，所有三角函數都是週期函數。請讀者自行回到前一講去看看正弦、餘弦和正切函數的圖形，很明顯就看出它們的週期性。由於正切函數並不是在整個實數上都有定義，因此我們知道，未必所有週期性函數都是連續函數。

自然界有許多週期現象，但是她們未必找得到一個簡單而漂亮的數學方程式來描述。所以，看起來，我們似乎需要比三角函數更多的週期函數，來幫助我們描述自然界。其實不然。以後（不在微積分課裡），有些同學會學到所謂的 傅利葉級數 (Fourier series)，就會知道，所有自然界所見的週期現象，乃至於影像和聲音，基本上都可以用正弦和餘弦函數表達出來。所以，行遠必自邇這句古訓，就更顯得有意義了。我們現在多熟悉一些正弦函數和微積分，預備將來瞭解傅利葉級數（和其他很有用的數學工具）。

週期函數的正規定義是，存在一個正的實數 p，使得

從這個定義，我們發現

既然如此，則舉一反多，其實對任意的正整數 n，

都成立。另一方面，把 x 代入 x - p，得到

因此，同前述，我們得知對任意的正整數 n，

也都成立。總歸一句話：

上面

符號是 對所有的 (for all) 的意思，而

在這裡表示整數所成的集合。

根據 (1) 式，我們只要知道在 [0, p) 之間的值 (如果有意義的話)，就會知道它在整個上的值。因為對任何一個實數 x，必定存在唯一的整數 n 和實數使得。舉幾個例子，對於正弦函數，p 可以是。如果 x = 1.75 則 x 在之內，取 t = x 而 n = 0。如果 x = 17 則

因此取

而 n = 5。

將前面的發現換個說法，就是說只要符合 (1) 式而且在 [0, p) 區間內知道它的函數圖形，則它在整個實數上的函數圖形就知道了：就是不斷地將這一段 (長度為 p) 的函數曲線剪貼到其他地方去，整個銜接在一起。讀者觀察正弦、餘弦、正切、正割的函數圖形，都會明顯看到這個現象：

sin(x), x=-2*Pi..4*Pi cos(x), x=-2*Pi..4*Pi

tan(x), x=-2*Pi..4*Pi sec(x), x=-2*Pi..4*Pi

如果符合 (1) 式，其實把 p 換成 2p、3p ... 又有何不可？譬如說，如果我們知道正弦函數在、、... 之間的函數圖形，就可以剪貼到其他地方而知道正弦函數在整個實數上的曲線，這話也沒錯。

如果 p 是使得 (1) 式成立的（唯一那個）最小正數，我們稱 p 是的週期 (period)，經常記做 T。而則被稱為一個 T-週期函數 (T-periodic function)。例如 sin(x) 和 cos(x) 都是 -週期函數，但是 tan(x) 是一個 -週期函數。

所以週期的意思就是，函數每多少單位長「循環」一次。反過來，在一個單位長之內，函數「循環」的次數稱為頻率 (frequency)，經常記做希臘字母。也就是說

例如 sin(x) 的頻率是 1/(2*Pi) 而 tan(x) 的頻率是 1/Pi。

週期函數的最大值和最小值 (如果有的話) 距離之一半，稱為振幅 (amplitude)。例如正弦、餘弦的振幅是 1，但是正切的振幅就不存在了 (也有人說它的振幅是無窮大，但是我個人認為這並不合適，因為「無窮大」並非一個實數)。

習題

證明週期函數必定不是一對一的函數。
根據 (1) 式，證明。
請想想，並說明如果把教材中所說：『對任何一個實數 x，必定存在唯一的整數 n 和實數使得。』其中 [0, p) 換成閉區間 [0, p] 會如何？那句話還對嗎？
證明正切函數 tan(x) 是 -週期函數。
請問的頻率是多少？
請問的振幅是多少？
請問的振幅是多少？