令 是一個函數，它的定義域是 D 值域是 V。 所謂反函數的數學定義是，若存在一個函數，暫時稱之為 其定義域是 V 而值域是 D，滿足 則稱 和 互為反函數 (反函數關係是平等互惠的)。 簡記做 不要把那個 -1 看成負一次方了，它不是倒數的意思。 如果我們要表明負一次方，會寫
在技術上，如果要求 的反函數，就是求解 把 x 寫成 y 的函數 (如果辦得到的話)： 然後再把 裡面的 y 變換成 x，就得到 了。
自其圖形而觀之，因為
前面我們所舉的三種 它們具有一個共同的特性：它們都是嚴格漸增函數 (請讀者自行回顧它們的圖形)。 換句話說，它們都是一對一函數！ 如果不是一對一函數，那它會有反函數嗎？ 從以下圖示可以看得出來。 左邊的函數 x 2 不是一對一， 那麼，當它對 45 度角鏡射之後，就 根本不是一個函數曲線 了！ 因為一個自變數 x 不可以對應兩個值！ y=f(x) reflection w.r.p. y=x 但是，事情還不至於絕望。退而求其次，函數 可以被分為兩段：( , 0] 和 [0, )， 在這兩個區間內，它是一對一函數。因此，在這兩個區間內，我們可以定義反函數 參照以下圖示。
做個結論，當一個函數在其定義域內不是一對一函數的時候， 整體而言，它是沒有反函數的。 換句話說，對於某些數 r， 沒有唯一解。 但是，退而求其次，只要我們確定 在某個區間 (a, b) 內是一對一 (是嚴格漸增或嚴格漸減)，則在這個區間內， 理論上還是可以有反函數的。 怎樣決定這個區間？微分可以幫忙。 決定區間之後，怎樣決定 ？ 一般來說，這是個難題，沒有一招可以打遍天下無敵手。