分片定義函數

所謂分片定義函數，就是將其定義域分成幾個不同的段落 (幾「片」)，在每個段落中分別規定函數。例如

冪函數 1/x 本來在 x = 0 處沒有意義，但是經過以上函數的分片定義 ({0} 自己成為「一片」)，就使得

在 x = 0 處有意義了。又例如

也是同樣的道理，它將平方根函數本來沒有意義的地方「補上」了意義，使得函數在整個實數上有意義，而且還是連續的。

將絕對值加諸於函數上，相當於定義了分片函數。例如

或者

以下是一個經常被暱稱為方盒函數 (box function) 的函數，它的學名應該是 [0, 1) 區間的 特徵函數 (characteristic function)：

方盒函數顯然是不連續的，看它的圖形：

box function

想像把在那兩個不連續的地方，用垂直線段把函數圖形連接起來，不就像一個方盒子嗎？

方盒函數是用來製造分片定義函數的好工具。例如以下這個「三角帽」函數

就可以簡寫成

因為 B(x) 是 [0, 1) 的特徵函數，所以 x*B(x) 就好像把 y=x 這個函數的 [0, 1) 部分內容「過濾」出來，而其他部分「過濾掉」的樣子。同理，因為 B(x-1) 是 [1, 2) 的特徵函數，所以 (2-x)*B(x) 就好像把 y=2-x 這個函數的 [1, 2) 部分內容「過濾」出來，而其他部分「過濾掉」的樣子。兩者加在一起，就成了三角帽函數。

最後一個例子，讓我們製造以下這個平滑的視窗函數 (window function) 出來。

W(x)

這個函數幾乎是 [-1/2, 1/2) 的特徵函數，但是它並非如特徵函數般的不連續；反之，它是連續而且看起來有些而平滑的。怎麼做呢？首先，考慮

如下圖。

(cos(2Pix) + 1)/2

我們用方盒函數將它的 [-0.5, 0) 部分過濾出來，命名為

現在，只要做以下的接合就可以了：

以下我們分別示意那三片函數。

L(x+0.5), B(x+0.5), L(-x+0.5)

習題

令 B(x) 是 [0, 1) 的特徵函數，請問是哪個區間的特徵函數？
令 B(x) 是 [0, 1) 的特徵函數，請問是哪個區間的特徵函數？
令 B(x) 是 [0, 1) 的特徵函數，請問是哪個區間的特徵函數？
請用利用方盒函數寫出以下分片定義函數的表達式：