什麼是微分?

單變數函數 可以理解成某個量 (例如位置) 隨自變量 (例如時間) 的變化情形。 定義 在區間 [x0, x1] 內的 變化率 (rate of change) 是



注意這個定義是有方向性的。我們一定取 x0 < x1。 以位移和時間為例,變化率就是 平均速度 (average velocity)。

微分 (differentiate) 是一個動詞, 所謂在 x = x0 處微分 的意思,口語地說,就是求 在 處的 瞬間變化率。 所求得的瞬間變化率 (一個數),稱為 在 處的 導數 (derivative)。 導數是名詞。

前面所說的「變化率」我們瞭解,但「瞬間」是什麼? 令 x 的單位是秒,如果我們假設一秒鐘是瞬間,那麼可以就以 在 �:的變化率來充當 在 處的瞬間變化率 (也就是導數)。 在一般日常生活的應用上,似乎這也可以了。 但是任何講究理性的人,顯然不能滿足於這種不明確的估計。 因為半秒鐘比一秒鐘短,它當然更有資格被當作是一瞬間。 那麼一微秒呢?那麼 秒呢? 只要你提議一個 > 0 的瞬間定義, 我們就可以提出一個更短的時間,更有資格作為瞬間的定義。 這樣的競爭將永無終止。

由以上的論述可見,只有 0 才夠資格當作瞬間的定義,總不能再小了吧? 如果我們真能以 0 當作瞬間的定義,順利求得所謂的瞬間變化率, 那麼,不論您實際上想要以一秒、半秒、還是一微秒一毫秒為間隔來計算變化率, 其數值都將會和這個「真正的」瞬間變化率差不多。 因此,瞬間變化率,可以當作很短時間內之變化率的近似值。

但是,如果以 0 當作瞬間的定義,就相當於要在 內計算變化率,也就是



這根本沒有意義,也根本沒有變化率可言。

所以,進入死胡同了嗎?沒解了嗎? 不是的。雖然以上的式子看起來的確沒有意義,但是用「極限」的眼光來看, 就有意義了。

為什麼要知道函數在某個點上的瞬間變化率? 我們現在只說一些最簡單的應用。 導數,也就是瞬間變化率,代表了函數曲線在這個點「附近」的形態。 例如導數為正,函數漸增;導數為負,函數漸減;漸增得越來越快,曲線凹向上; 漸減得越來越快,曲線凹向下;導數為零,有極大或極小值。 凡此種種,可以讓我們獲得許多關於函數曲線的資訊。

最後附帶一提。大陸人稱導數為微商。因為變化率是一個除式, 除出來的結果是商。而瞬間變化率是在一段很微小的範圍內計算的商, 因此,微商這個名詞還頗有意思的。

習題


Created: Apr 16, 1997
Last Revised: Aug 2, 2001
© Copyright 2001 Wei-Chang Shann 單維彰