單變數函數
微分 (differentiate) 是一個動詞,
所謂在 x = x0 處微分
前面所說的「變化率」我們瞭解,但「瞬間」是什麼?
令 x 的單位是秒,如果我們假設一秒鐘是瞬間,那麼可以就以
由以上的論述可見,只有 0 才夠資格當作瞬間的定義,總不能再小了吧? 如果我們真能以 0 當作瞬間的定義,順利求得所謂的瞬間變化率, 那麼,不論您實際上想要以一秒、半秒、還是一微秒一毫秒為間隔來計算變化率, 其數值都將會和這個「真正的」瞬間變化率差不多。 因此,瞬間變化率,可以當作很短時間內之變化率的近似值。
但是,如果以 0 當作瞬間的定義,就相當於要在
這根本沒有意義,也根本沒有變化率可言。
所以,進入死胡同了嗎?沒解了嗎? 不是的。雖然以上的式子看起來的確沒有意義,但是用「極限」的眼光來看, 就有意義了。
為什麼要知道函數在某個點上的瞬間變化率? 我們現在只說一些最簡單的應用。 導數,也就是瞬間變化率,代表了函數曲線在這個點「附近」的形態。 例如導數為正,函數漸增;導數為負,函數漸減;漸增得越來越快,曲線凹向上; 漸減得越來越快,曲線凹向下;導數為零,有極大或極小值。 凡此種種,可以讓我們獲得許多關於函數曲線的資訊。
最後附帶一提。大陸人稱導數為微商。因為變化率是一個除式, 除出來的結果是商。而瞬間變化率是在一段很微小的範圍內計算的商, 因此,微商這個名詞還頗有意思的。
Created: Apr 16, 1997
Last Revised: Aug 2, 2001
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