基礎微積分內容預覽

本質上，微分和積分都需要大量的計算。 從 2200 年前的希臘文明，到後來陸續在中國、印度、阿拉伯所產生的文明， 人們都曾先後面臨這種繁複計算的需求。 除了特別聰明的人找到特別巧妙的方法之外，這些計算遠遠超過當時所有人的能力範圍。 而十七世紀，以牛頓與萊布尼茲為代表人物的偉大發現， 就是為這兩大類超級複雜的計算問題，找到了超級方便的計算方法。 因此，我個人經常想，如果電子計算機比微積分早被發明， 會不會人們就不會努力思索這些計算問題的簡便解法，於是微積分就永遠不被發明？ 但是換個角度想，如果沒有微積分帶來的科技進步， 是否人類永遠無法進步到能夠發明電子計算機的一天？ 歷史無法實驗，這個疑問，就只能當作茶餘飯後的聊天話題了。

這一篇所講到的專有名詞（或動詞、形容詞），都有專門的教材來詳述。 所以都不在此詳細解釋。

十七世紀的西歐知識份子，陸續發現一些微分的「撇步」。 那就是，給定一個可微的函數 只要它是個基本函數，就可以利用一些公式，寫出它的導函數。記做 。 這些公式，可以分為兩大類：

• 基本類型函數的導函數公式
• 針對函數與函數之加減乘除、合成、作反函數之後的微分規則

而偉大的「微積分基本定理」告訴我們，如果你可以找到 使得 是它的導函數，也就是說

就是因為微積分基本定理，才使得微分和積分這兩件事情， 被牽扯在一起。

籠統地說，只要是基本函數，就寫得出它的導函數。 可是，即使 是基本函數，也未必可以找到另一個基本函數，使得它的導函數是 。 例如，我們找不到另一個基本函數，使其導函數是 。 在這個意義下，我們知道，積分還是比微分困難些的問題， 而且，遇到積分問題，電腦的輔助還是不可避免。

微積分導引人們去思考、去認識：極限、連續、實數這三個觀念。 而數值的極限，也啟發當時最有創造力的大腦，去思索函數極限的可能。 因而，配合微積分的技術，就開啟了另一扇大門：函數級數。 許多非常緊要的函數，以前都只是在觀念上存在，卻沒有計算它的方法。 舉凡 、 、 、 ， 都是因為微積分而獲得了簡單的計算公式。 所以，如果問「微積分對於現代科技文明有什麼貢獻？」，那最起碼的貢獻， 就是它讓我們可以計算上述函數的值。您能夠想像， 在難以 (甚至是「無法」) 計算那些函數值的情況下， 還能談什麼科學或工程嗎？ 這些貢獻早就被人忽略了，因為那些算法，早就被燒到掌上型計算器 (calculator) 的晶片裡面，任何人只要按幾個鍵就得到上述函數的值，準確到小數點下十幾位不等。 微積分的貢獻當然不僅止這些，只是此時「族繁不及備載」。

既然要用到函數級數，則必須探討級數是否收斂的問題， 也要知道函數在哪個範圍內保證級數收斂？ 即使是電子計算機，也不能完整地以計算結果來判定一個級數是否收斂。 因此，在某種程度上，我們還是需要用數學來判斷。 一旦判斷會收斂，就可以放心地寫一個計算機程式來估計級數的極限了。 然而，在深入研究極限存不存在的問題時，卻發現真正要知道的是： 實數究竟是什麼？它有什麼性質？

所以，現在應該可以看出來，在一門微積分課裡面探討連續函數、 數列極限、函數極限、函數級數、 函數級數之收斂判斷、實數原理與性質的必要性與正當性了。 這些學問，有些必須延到第二個學期的微積分，甚至於只有數學系的高等微積分， 才能夠探討。對於第一個學期的微積分課程，我們不一定要深入進去。

習題