從數值認識微分

雖然，以 0 當作瞬間的定義，則瞬間變化率的原始計算公式



並沒有意義，這是因為 在區間 [x0, x0] 內根本沒有變化。 但是，變化是一個動態，應該要「自其變者而觀之」， 不當「自其不變者而觀之」。

如果我們不直接計算在 x = x0 這「一瞬間」的「變化率」（根本沒有變化）， 而是在一個很小的範圍 [x0 - h, x0 + h] 內考慮變化率，就能計算：



以上我們假設 h 是個很小的正數，而且整個 [x0 - h, x0 + h] 都落在 的定義域裡面。 那麼，任何人只要觀察上述計算的結果，都會明顯地察覺到， 當 h 越來越小的時候，那些變化率越來越接近一個常數。 那個常數，就是瞬間變化率，也就是導數。

現在，我們以 和 x0 = 1 為例， 列出一系列的計算結果。
h變化率
1  .707106781185  
1/2  .517638090205  
1/4  .504017169930  
1/8  .500983300350  
1/16  .500244558785  
1/32  .500061061265  
1/64  .500015260510  
1/128  .500003814590  
1/256  .500000953985  
1/512  .500000238850  
1/1024  .500000060415  

觀察這些數值，是否當 h 越來越小、越來越小的時候，以上的數值， 會越來越接近 0.5？ 我想，現在如果要賭錢的話，每個人都會押在「會」上面。

如果覺得前面的例子太簡單，我們再試一個複雜一點點的例子。令 和 x0 = 0， 列出



的計算結果。
h變化率
1  .750000000000
1/2  .707106781185
1/4  .696621399490
1/8  .694014757860
1/16  .693364013850
1/32  .693201384990
1/64  .693160731390
1/128  .693150568065
1/256  .693148027520
1/512  .693147391745
1/1024  .693147231745

讀者應該看得出來，那個「越來越被靠近的數」，大約是 0.693147。

大家可以看得出來，在



裡面，自變量是 h。因此，可以將它看成一個以 h 為變數的函數， 稱之為 L(h)：


如果有一個常數 T，使得當 h 是正數而且越來越小的時候， L(h) 就越來月接近那個常數，則我們稱那個 常數 T 是 L(h) 當 h 從右側趨近於 0 的極限， 可以簡寫成 當 則 更簡記為


以上是 函數右極限 的符號， 我們簡稱 T 為 T 為 右極限。

如果 h 是負數而且越來越接近 0，則我們說 h 從左側趨近於 0。 在這個情況下，如果也存在一個「被越來越靠近的常數」， 那個常數就簡稱為 左極限，而且記做



對我們現在關心的 L(h) 而言，因為



可見 L(h) 是一個偶函數。那麼，不論 h 從 0 的右側還是左側趨近於 0， 結果都是一樣的。也就是說，


在這種情況下，我們就不必詳細區分左極限與右極限，因此籠統稱為 極限 (limit)。 因為是個函數的極限，所以如果要仔細一點，就說是 函數極限。記做


例如前面第一個例子，我們認為


而對於第二個例子，我們認為


習題

  1. 若 證明對所有的實數 x0 和正數 h，


  2. 若 請計算並猜測以下數值：


  3. 請計算並猜測以下數值：


Created: Apr 16, 1997
Last Revised: Aug 3, 2001
© Copyright 2001 Wei-Chang Shann 單維彰