現在只討論在閉區間 [a, b] 內的正值連續函數。 將 [a, b] 區間等分成 n 個分格 (也可以說「等分 n 段」) 然後計算小矩形之面積和的想法， 直接提供了一套算法。 等分後的 n 段分別是
現在，我們以 和 [a, b] = [0, 1] 為例， 列出 的一系列計算結果。 在這個情況下，其實我們可以推導 nL[n] 10 .285000000000 100 .328350000000 1000 .332833500000 104 .333283335000 105 .333328333350 106 .333332833334 107 .333333283333 108 .333333328333 109 .333333332833 1010 .333333333283 觀察這些數值，是否當 n 越來越大、越來越大的時候，以上的數值， 會越來越接近 1/3？ 我想，現在如果要賭錢的話，每個人都會押在「會」上面。
如果覺得前面的例子太簡單，我們再試一個複雜一點點的例子。令 和 [a, b] = [0, 1]。 這時候，寫不出一個簡單的公式，只能說 以下列出計算結果。 nL[n] 10 1.39327261729 100 1.43770081711 1000 1.44219509865 104 1.44264504147 105 1.44268917262 106 1.44269454089 107 1.44269499089 108 1.44269503589 109 1.44269504039 讀者應該看得出來，那個「越來越被靠近的數」，大約是 1.442695。
稱為一個無窮數列或簡稱為 數列 (sequence)。 n 稱為數列的 足標 (index)。 通常足標由正整數組成，但是一般而言，它可以是整數的任何一個子集合； 例如，足標可以從 0 開始計數，也可以從 -1 開始。 我們有時候也用 L[n] 來表示數列。 其實數列也就是一種特殊的函數，它的定義域是正整數， 或者其它的整數子集合。但是因為數列的特殊應用地位， 我們將它們獨立看成一類物件，而不歸類在函數裡面。
如果存在一個常數 T，使得當 n 越來越大的時候， L[n] 越來越靠近 T，則我們稱 T 是數列 L[n] 的極限，記做
例如對於前面第一個例子，我們的猜測是