函數的連續性質 (函數操作)

以下我們列舉函數的「動作」對於連續性質的影響。

加、減、乘

如果 和 都在 c 點連續，則

也都在 c 點連續。注意，常數都被視為常數函數了， 所以被包括在這些理論裡面。

除

如果 和 都在 c 點連續。

• 如果 則
  
  
  
  也在 c 點連續。
• 如果 但是 則
  
  
  
  在 c 點不連續。
• 如果 而且 則我們暫時沒有結論，需要另外討論。

合成

如果 在 a 點連續， 而且 在 c 點，則它們的合成函數

在 c 點連續。 因為脹縮平移就對應 是線性函數的情況，而線性函數總是連續的，所以

• 如果 本身是連續的，則它的脹縮平移也都是連續的。
• 如果 本身是不連續的，則它的脹縮平移也都是不連續的。

反函數

如果 在實數子集合 U 內是一對一且連續的函數，而且 將 U 映射至 V。換句話說， 是從 U 到 V 之一對一且映成的連續函數。那麼， 有反函數 ， 而且 是從 V 到 U 之一對一且映成的連續函數。 例如

• 對數函數 是從 映成到 的連續函數。
• 反正弦函數 是從 映成到 的連續函數。

分片定義函數

我們只舉一種基本類型的狀況，其他狀況都可以類推。如果

而且 和 各自是基本函數。那麼

• 如果 有意義而且 則 在 c 點連續。
• 如果 雖然沒有意義但是
  
  
  
  那麼 在 c 點連續。
• 如果
  
  
  
  不存在或是存在但是不等於 ， 則 在 c 點不連續。

習題