函數的連續性質 (操作範例)

大多數的不連續函數都是由於

• 零分母
• 分片定義函數不銜接

例一

有理函數

在整個實數上連續。因為它是 的型式，其中 和 都是多項式，故在整個實數上連續，而 又沒有零根，所以相除後仍然在整個實數上連續。

例二

有理函數

在 上連續。因為它是 的型式，其中 和 都是多項式，故在整個實數上連續，而 只有在 x = -1 和 x = 1 處有零根， 所以相除後只在那兩點上不連續。

例三

函數

在 上連續。因為它是 的型式，其中 和 。 其中 在 上連續，故只要 的值落在 之內，其合成函數就會連續。解不等式

就會得到上述區間。

習題

1. 請問反餘弦函數 是從哪裡映成至哪裡的連續函數？
2. 請問反正切函數 是從哪裡映成至哪裡的連續函數？
3. 請討論
   
   
   
   在哪些點上連續？說明您所根據的理由。
4. 請討論
   
   
   
   在哪些點上連續？說明您所根據的理由。
5. 請問
   
   
   
   是否在 x = 0 處連續？說明您所根據的理由。
6. 請討論
   
   
   
   在哪些點上連續？說明您所根據的理由。
7. 請討論 在哪些點上連續？說明您所根據的理由。
8. 請討論
   
   
   
   在哪些點上連續？說明您所根據的理由。