根據我們目前對於函數的連續和極限性質的認識，現在可以正式地定義導數了。 這個定義，和我們在前面幾講，用圖形和數值來認識微分的時候所寫的計算式子稍有不同。 這兩種寫法之間，有著微妙的關係，但是現在暫時不去仔細研究，先往前走再說。 從這個定義，可以推論出最簡單類型的導函數公式。
我們可以繼續推導更多的導函數公式和微分規律，但是我寧願把這些技術細節稍微延後， 現在一鼓作氣把微積分基本定理展示出來。夾擊定理就足夠用來證明一個較為簡單版本的微積分基本定理了。 這個版本雖然涵蓋不夠廣泛，但是對於常見的應用問題卻已經足夠了。 而且，它可以讓初學者很直覺的認識這個定理。
為了讓讀者可以比較快地對於微積分有一個概括的認識， 我們雖然只證明了簡單版本的微積分基本定理，卻已經逕行接受「完整版」是正確的。 以後再深入進去的時候，再來證明「完整版」。 這個定理有那麼偉大嗎？這個問題可能還需要學習者去慢慢體會。我已經使用自然輸入法一個月以上，用它輸入了兩萬字以上。所以， 我現在應該有資格來評論一下了。我認為它的人工智慧經常帶給我的是困擾， 而不是方便。我經常會在用它打字的時候忍不住罵出美國的國罵。 這個軟體給我的啟示是：
自作聰明的半弔子人工智慧，可能導致人類的災難！舉例來說，我打了幾個字，它的選字原來是對的， 或者我把它選對了，之後繼續打，打到某個字或詞， 它的人工智慧就會跳出來出來修改我之前已經確認的字或詞，害我又要再回去改回來。 我想，這種半弔子的人工智慧中文輸入法，可能是造成網路上的文章有那麼多「別字」 的原因之一吧。想要寫對中文，現在是越來越不容易了。
補充說明。我拿來跟自然輸入法比較的，不是微軟新注音或更原始的注音， 而是松下公司的漢音輸入法，和 X Window 系統內的 cxterm 內附詞庫輸入法。 前者不知道為什麼在 5.1 版之後就不再有消息，漸漸地在新版微軟視窗內就裝不上了。 後者因為是一個大陸留學生寫的，他畢業後也就不再維護， 漸漸地無法在新的 X 視窗環境下 make 出來。所以，我在一個多月前，轉到自然輸入法。 前述兩種輸入法都有詞庫功能，但是沒那麼多「人工智慧」。 我應付自然輸入法「人工智慧」的方法，和簡立凱先生寫信來提示我的一樣： 就是一旦發現它選對字了，就趕快按 Enter 輸出。 但是，這樣經常打斷我的思緒，一點都不自然。
話說回來，使用人家免費下載的軟體，還要嫌東嫌西，實在太不厚道。 持平地說，自然輸入法比起微軟新注音或老注音，都是優良許多的設計。 我知道在自然輸入法背後有一個研究小組。 我只是希望，他們能夠出一個「人工智慧」功能受到抑制的版本。 他們可以試著給用戶一個選單：要「人工智慧」高、中、低三項選擇。 謝謝。
後來，bgs 也說： 我也想抱怨一下，最近使用 UltraEditor 來編輯 java 的 source code ， 只要一儲存檔案以後，因為編輯器自動偵測到我是在寫 java 的程式， 結果因為有幾個變數和某些基本類別名只差大小寫， 結果所有的變數全變成了類別。實在是令人生氣。