令 x 0 是一個實數，函數 在 x 0 的「附近」有定義，如果以下極限存在 則我們稱該極限為 在 x 0 的 導數 (derivative)。記做 同時我們也說 在 x 0 可微 (differentiable)。
上述的極限問題中，h 可以從 0 的右側或左側趨近於 0， 因此我們必須假設 在 x 0 的左邊附近和右邊附近都有定義， 簡稱為「附近」。這個「附近」到底要多近？其實不要緊， 因為 h 是要趨近於 0 的，所以不管多近都可以。
如果 在 (a, b) 區間內的每一個點都可微，我們就說 在 (a, b) 區間內可微。 因為 必須在可微的點的「附近」都有定義，而當我們侷限在 [a, b] 內時，就不考慮此區間以外的點。 所以，這相當於說， 在 a 的左邊和 b 的右邊都沒定義 (或許是有的，但是我們已經不討論它了)。 因此，每當我們談函數在某個區間內可微的時候，我們總是說一個開區間， 而不談閉區間。
如果 在 (a, b) 區間內可微，則此區間內的任何一個數 x 都映射到另一個數：函數 f 在 x 的導數。 這個映射符合函數的要求，因為 每一個數 x 對應一個導數 導數是由極限定義的，一個函數極限如果存在，必定唯一，所以每一個 x 只對應唯一的一個導數 因此，這個映射可以定義一個新函數，稱為 的 導函數 (derivative function)，簡單的記號通常是 (這是牛頓發起的符號)， 較為詳細的記號是 (這是萊布尼茲發起的符號)。 或者，如果我們說 則也可以將導函數寫成 如果我們知道導函數的方程式，就只要代入 x 0 便得知導數：