令 是一個在 [a, b] 閉區間內有定義的正值連續函數， 更進一步，我們假設它在 (a, b) 開區間內可微。令 是 在 [a, b] 內的積函數。取 x 是 (a, b) 內的任意一點， 我們考慮 F 在 x 的導數： 因為 意思是說 在 [a, x+h] 區間內的積值，而 意思是說 在 [a, x] 區間內的積值，所以很明顯地， 的意思就是 在 x 和 x+h 之間的積值 (也就是面積)。 我們在這裡不能說 [x, x+h] 區間內的積值， 因為 h 可能是正數也可能是負數，所以不一定 x+h 在 x 的右邊或左邊。
因為 h 是要趨近於 0 的，所以可以假設它很小。又因為 是可微的，所以它在一段很小區間內的函數曲線幾乎是一條直線。 這條直線若不是漸增，就是漸減。因此，若不是 就是 兩者總有一個是對的 (以上的 s 只在 x 和 x+h 之間考慮)。 因為兩者的論述是完全一樣的，所以我們假設前者成立。 那麼，我們就知道 在 x 和 x+h 之間的面積， 比同樣區間內以 為高的矩形面積大，比同樣區間內以 為高的矩形面積小，也就是 因此 因為 根本不隨 h 而變化，也就是說，對於自變量 h 而言， 是一個常數函數，所以 另一方面，因為 是連續函數，所以 現在，可以呼叫夾擊定理了。根據夾擊定理，我們得到 這個結果對所有 都成立，所以說 在 (a, b) 區間內的導函數就是 簡記做 或者 這就是我們的「簡單版」微積分基本定理 (the fundamental theorem of calculus)。
前面所謂的「簡單版」簡單在哪裡呢？ 也就是說，所謂「完整版」多了什麼？ 其實，完整版就是說，原函數 不必可微，也不必是正值，就可以證明上面的 (A) 式了。 其實，要去掉「正值」假設並不困難，但是要去掉「可微」假設就需要多一點兒工夫了。 我們別處再談。現在，雖然我們只證明了簡單版，卻假設完整版成立： 假設 在 [a, b] 區間內是一個連續函數，則 (A) 式成立。 微積分基本定理說明了 積函數的導函數是原函數 也可以說 積分與微分互為逆運算 還可以說 曲線下面積的瞬間變化率是函數值本身 這個定理的精要與微妙處，還需要學習者日久天長去慢慢體會。
假設 在 [a, b] 區間內是一個連續函數，則 (A) 式成立。
積函數的導函數是原函數
積分與微分互為逆運算
曲線下面積的瞬間變化率是函數值本身