令 是一個在 [a, b] 閉區間內有定義的正值連續函數。 則對任何一個在此區間內的數 x， 從 x 映射到 在 [a, x] 區間內的積值， 是一個符合函數定義的映射。因為 每一個 x 對應一個積值。 在 [a, x] 範圍內，在 曲線下，在 x 軸上，圍成的區域顯然是唯一的，因此積值是唯一的。 那麼，我們就可以定義一個新的函數出來： 在 [a, x] 區間內的積值，其中 這個新的函數 就稱為 在 [a, x] 區間內的 積函數 (primitive function)。記做
在前面的定義當中，我們使用了 傀儡變數 (dummy variable) 的伎倆。 因為 和 都爭著要用 x 這個名字當作自變量，如果它們分別使用 x， 那就沒有問題。但是如果要寫在同一個式子裡面，那就可能造成語意混淆， 所以總有一個函數的自變量要換個名字。 我們把 f 的自變量改名字叫做 s。 但是，改個名字，絕對不會影響這個函數的本質。只是，例如，把 改成了 、 改成了 ， 如此而已。聰明的讀者，一定是一看就明白了。 (還有，在座標平面上畫圖的時候，把橫軸的名字，從 x 改成 s。
從前面的例一和例二看來，讀者有沒有發現，原函數 和 之間，恰好都符合 這不是巧合，而是發現「微積分基本定理」的動機。