極限的存在、發散、收斂

所謂一個極限

存在 (exist)，意思是說它的左極限與右極限

分別存在且兩者相等。而且，當

的時候，

卻不必 = c；

的時候，

卻不必 = c。因此，函數

在 c 點可以沒有定義，這並不影響極限的操作。例如

在 x = 0 處都無意義，但是它們在

的極限都存在。如果

在 c 點有意義，而且又等於

那就太好了：

在 c 點連續。

例一

考慮

因為 x < 0，所以 |x| = - x，因此它其實是一個常數函數的極限：

同理，

左右極限雖存在卻不相等，故

不存在。

例二

考慮

因為 x < 0 而且趨近於 0，參照右圖 (這是有垂直漸近線的情形)，發現

同理，

左右極限雖然都發散，卻不同號，故

不存在。

例三

考慮

因為 x ² < 0 而且趨近於 0，參照右圖 (這是有垂直漸近線的情形)，發現

同理，

左右極限雖然都發散到正無窮大，所以

我們說

在 x = 0 處發散 (divergent)。

如果極限存在，而且是一個實數，我們說它收斂 (convergent)。正負無窮大都不是實數。所以，發散的極限，就不收斂。而且，也沒有「收斂到無窮大」這種說法。

警告: 這一節定義的「極限不存在」不是一個統一的專有詞彙。有些作者把「發散」歸類在「不存在」裡面，也就是說把「發散」視為「不存在」。也有些作者會把左極限趨向無窮大、右極限趨向負無窮大 (或是相反) 的情形稱為「發散」。讀者需要小心檢查這些詞在不同書本裡面的定義。