微分連鎖律

如果 從 (a, b) 區間映射到 (c, d) 區間， 而且在 (a, b) 區間內可微。如果 在 (c, d) 區間內可微，則它們的合成函數



也在 (a, b) 區間內可微。 如果我們寫


而且令 則
在 x 0 的導數就是 在 z 0 的導數乘以 在 x 0 的導數。
記做


這就是導函數的 連鎖律 (chain rule)。

證明的步驟也很直接。 在以下證明當中，我們令 ， 則



令 ， 也就是 ， 因為 可微，所以連續，所以當 才會有 ， 因此才能在以下做變數變換。又因為已經假設 和 可微，所以


都存在，因此才能在以下引用極限的乘法律。 有了這些說明，就可以繼續完成我們的證明了：


故得證。

微分連鎖律有一個容易一點的記法。回顧前面所說得簡寫方式：



則微分連鎖律就可以簡寫成


上面那個等式展現了萊布尼茲符號的漂亮用法： 它使得微分連鎖律「看起來」好像是分子與分母相約去的分數計算一樣。 我們必須在強調一下：「看起來」，其實當然不是那個意思。 不過，只要「看起來」好像，就很方便我們記憶了。

連鎖律可能是所有微分運算規律當中最重要的一個了。

例一

求 的導函數，可以先展開再微分：



也可以看成 其中 而 所以


顯然地，兩個作法的結果相同。

例二

求 的導函數，可以先展開再微分：



也可以看成 其中 而 所以


顯然地，兩個作法的結果相同。

例三

以下函數



可以看成 其中 而 ， 所以


現在，應用微分連鎖律，我們可以推導冪數為正有理數之冪函數的導函數公式。 令 n 和 m 是 (互質的) 正整數， r = m / n，則



可以看成 其中 而 ， 所以


所以，現在可以推廣冪函數的導函數公式如下：
令 r 是正有理數，則

連鎖律將是最主要的微分運算規律。 它看來頗複雜，但是大部分的步驟可以心算帶過， 而不必一步步地按照上述的範例進行。 就好像小學生做除法，本來需要按照九九乘法表一一測驗商數應該是多少， 但是熟練之後，就可以心算了。 熟能生巧，多練習是唯一的掌握這個技巧的辦法。

這裡我們只示範了兩個函數合成之後的連鎖律。 實際應用的時候，有可能需要三個、四個函數合成的連鎖律。 讀者應該可以舉二反三的。 太過複雜的導函數，我們將可以藉助於電腦軟體來做。 學生只要能心算或筆算較為簡單的導函數就足夠了。

習題

  1. 求以下函數的導函數 (在它有意義的範圍裡面)。


  2. 求以下函數的導函數 (在它有意義的範圍裡面)。


  3. 求以下函數的導函數 (針對它的自變量)。


  4. 求以下函數的導函數 (針對它的自變量)。


  5. 若 r 是圓的半徑，則圓面積是 而


    恰好就是圓周長。這是巧合？還是可以用微分的意義來「大約」解釋的？ 您或許可以朝這個方向想：
    令 h 是個很小的正數，考慮以 r+h 為外徑、以 r 為內徑的圓環面積，再除以 h。
  6. 若 r 是球的半徑，則球體積是 而


    恰好就是球的表面積。這是巧合？還是可以用微分的意義來「大約」解釋的？
Created: Nov 20, 1996
Last Revised: Aug 8, 2001
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