反函數微分律

如果在 (a, b) 區間內可微，而且在此區間內它有反函數，則在 f 的值域內也是可微函數。而且如果則

在 x ₀ 的導數與在 y ₀ 的導數互為倒數。

記做

這就是導函數的微分律。

因為和的曲線互相以 45 度角的直線為鏡射，所以它們的切線也是以此直線為鏡射。因此，不難想像，這兩條互相鏡射的切線斜率互為倒數。參照以下示範圖片。

證明的步驟也很直接。假設而且在 x ₀ 有反函數，這表示在 x ₀ 附近不是漸增就是漸減，所以它在 x ₀ 的導數不是正數就是負數，總而言之

這是一個關鍵。然後，在以下證明當中，我們令

也就是說

並且在倒數第二步採用變數變換

這樣，就應該可以讀懂以下的證明了：

反函數微分律有一個容易一點的記法。如果簡寫和則反函數微分律就可以簡寫成

上面一串等式的中間兩項，展現了萊布尼茲符號的漂亮用法：它使得反函數微分律「看起來」好像是分數的倒數關係一樣。我們必須在強調一下：「看起來」，其實當然不是那個意思。不過，只要「看起來」好像，就很方便我們記憶了。

舉一個極簡單的例子。攝氏溫標 C 與華氏溫標 F 之間的換算關係，就是一個線性函數：

則

，因此

現在，應用反函數微分律，我們可以推導根次冪函數的導函數公式。令 n 是正整數，則開方根函數

的反函數是

所以

因此

所以，現在可以推廣冪函數的導函數公式如下：

令 n 是正整數，則不論 r = n 或 r = 1 / n，都是