九十學年暑期‧微積分學分班

第 31 講

基本類型函數當中，我們還差指數函數的導函數公式尚未知曉。 這就是此講的主題。其實，我們是要找出一個特殊的指數函數， 把所有的指數函數，都換底到那個特殊的底數 e。 同樣地，所有對數函數也都可以換底到這個特殊的數， 如此的對數函數，稱為自然對數函數。它的導函數公式， 就從標準指數函數的反函數微分律可以推導出來。 它同時也回答了冪函數之導函數公式所遺漏的一個缺 (冪數為 -1)。

• 常數 e
• 以 e 為底的 標準指數和自然對數
• 自然對數函數

課外讀物

• 一個關於 指數函數的笑話
  
  
• 歐拉是銜接在牛頓與高斯之間的數學巨擘， 他是所謂「大發現時代」的十八世紀的靈魂人物， 在微積分嚴格化之前，發現了許許多多令人驚豔而且實用的結果。 這是我自己寫的 歐拉簡介
• 台灣的中文網頁中，有許多大家抄來抄去最後也搞不清楚是誰寫的數學家介紹。 多半出自學生為了交作業或寫報告的手筆。這裡舉出兩份： Money 的數學世界的歐拉介紹 這個網站還不錯，大家可以多逛逛。 亞東技術學院的歐拉介紹 我不知道它是否為原著。
• 蘇格蘭 St. Andrews 大學的數學家史話網站 (Euler) (英文)
• Ball 的名著 A Short Account of the History of Mathematics 中提到的 Euler (英文)。
• 自稱為「幾何廢棄物堆積場」 (Geometry Junkyard) 的網站中， 蒐集了 17 種歐拉公式的證明，附有不錯的圖示。 此處所謂的歐拉公式，是指凸多面體之點、邊、面個數之關係等式。 歐拉公式的 17 種證明 (英文)。 這個網站還不錯，大家可以多逛逛。

後記

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