標準指數和自然對數

根據 e 的定義，

因為這個特別方便的性質，現代的科學家和工程師，把所有的指數函數 a ^x 都一律換底變成 e ^{k x} 的型式來計算。所以， e ^x 就成了「標準」的指數函數。日子久了，它已經標準到不需要強調它是標準，因此，就成了「指數函數」。在專業領域，只要說「指數函數」，就是指 e ^x。

怎麼換底呢？我們需要以 e 為底的對數函數，特別記做

這種對數函數特別稱為自然對數。因為它還沒有自然到可以取代其他兩個常見的對數函數：

和

所以，到目前為止，大部分人還是稱它為自然對數，並沒有直接稱它為「對數」。不過，在數學、科學和工程領域 (也許除了資訊工程以外)，當人們說對數的時候，通常就是只自然對數。

對於任何正數 a，

所以，任何指數函數，都可以換底寫成

的型式，其中

。如果 0 < a < 1，則 k 為負數，指數函數漸減；如果 a > 1，則 k 為正數，指數函數漸增。

例如碳十四的半衰期是 5730 年，則物質中碳十四的含量是時間 t (以年為單位) 的指數函數：

其中 C ₀ 是原來的碳十四含量，它是個常數。因為 ln(2) 大約是 0.6931，所以

運用連鎖律，我們知道

和

對於任何正數 a，證明
對於任何正數 a，請問以下極限是什麼？簡述理由。
請問 (勿用電腦軟體)
請問 (勿用電腦軟體)
做以下函數的導函數 (對其自變量微分，勿用電腦軟體)
做以下函數的導函數 (對其自變量微分，勿用電腦軟體)
做以下函數的導函數 (對其自變量微分，勿用電腦軟體)
做以下函數的導函數 (對其自變量微分，勿用電腦軟體)
令 L 是 2^x 通過 (0,1) 點的切線，求 L 與 x 軸的交點。[HH]
證明對所有實數 x 都成立。提示：考慮通過 (0,1) 點的切線。
找尋的所有解，寫到小數點下第四位。(可以用電腦軟體)。
寫出與在 x = 0 附近「最靠近」的二階多項式。這裡「最靠近」的意思是，它們兩者在 x = 0 處的 0, 1, 2 次導數都一樣； 0 次導數代表原函數值。