可微函數的多項式逼近

像以下這樣


將一個函數在某個範圍內寫成多項式 (和一個誤差項) 的方法， 為所有難以計算的函數，包括正弦函數、反三角函數、指數函數， 燃起了一盞明燈。讀者不難想像，在十七世紀末，這些發現是多麼動人心弦！ 那些「理論上存在」卻非常難以計算的函數， 如今被微積分方法一一掀起了神秘的面紗，展現它們簡單而容易親近的另一個面貌。 甚至於，我們相信，正是因為這些簡單而可以一再重複的計算公式， 觸動了人們對於自動計算機械的需求。 從十七世紀中葉微積分的黎明時分開始， 到二十世紀初期在英國、德國、美國分別發明的真空管電子計算機之間， 歐洲的歷代數學家與知識份子， 從不間斷地設計更快速、更具有一般功能的自動化計算機械。

在這一篇裡，我們先淺淺地瞭解這套算法的發現歷程。

令 是一個在一個包含 0 的開區間中高次可微的函數。 如果要找一個「靠近」它的多項式



就是要使得 和 有越多相同的高次導數越好。為了方便起見，我們現在只考慮在 x = 0 處的導數。 從以下幾張圖示可以看出來，如果


則 n 越大，兩個函數在 x = 0 附近就越靠近。 以上 的意義是 在 0 的 k 次導數，而 k = 0 代表原函數。
n=0 n=1
   
n=2 n=3
   

讓我們用



和


來計算驗證上述的現象：


對照


現在，根據「函數與逼近多項式之導數相等」這個原則， 我們可以推導逼近多項式的係數公式。 一般而言，因為



而我們又要求


所以很明顯地，此逼近多項式的係數必須是


至此，我們不難下結論：
如果 是一個在 x = 0 處 n 次可微的函數，則當 x 在 0 「附近」的時候，

以上的敘述雖然很管用，但是也開啟了兩個明顯的問題： 這些都是數學分析的課題，我們暫時不去深入研究。

最後，我們要提醒讀者注意，當逼近多項式只做到一階的時候， 那個一階逼近多項式就是切線。

習題

  1. 請推導出 在 x = 0 「附近」的九階逼近多項式。
  2. 請推導出 在 x = 0 「附近」的八階逼近多項式。
  3. 請推導出 在 x = 0 「附近」的五階逼近多項式。
  4. 請推導出 在 x = 0 「附近」的四階逼近多項式。
  5. 請推導出 在 x = 0 「附近」的三階逼近多項式。
  6. 請推導出 在 x = 0 「附近」的二階逼近多項式。
Created: Aug 14, 2001
Last Revised: Aug 14, 2001
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