回顧以下事實：
如果 是一個在 x = 0 處 n 次可微的函數，則當 x 在 0 「附近」的時候，
如果 是一個在 x 0 處 n 次可微的函數，則當 x 在 x 0 「附近」的時候，
如果想要將上述的「近似」符號換成「等於」，有兩種寫法。 這兩種寫法，通稱為 泰勒展開 (Taylor expansion)。
如果 是一個在 x 0 處至少 n 次可微的函數，則 注意，我們悄悄地把多項式的最後一項變成 (x - x0) n-1， 這是因為誤差項 中將會需要 因此不能把它當作 (x - x0) n-1 的係數。 以上的多項式部分，稱為 泰勒多項式 (Taylor polynomial)。 至於誤差項 ， 我們先按住不談。也許讀者應該知道， 具有不只一種表達的型式。常見的有兩種型式： 一種積分型式，和一種微分型式。 而且，這兩種型式，都是在泰勒提出這個算法之後 50 年左右才定案的。 所以，對於微積分的初學者而言， 稍微延後幾個月知道這些結果，也不為過。 寫法二：泰勒級數 如果 是一個在 x 0 處無限次可微的函數，則 以上的無窮級數就稱為 泰勒級數 (Taylor series)。 您可以想像他就是一個無窮高階的泰勒多項式。 但是，談到級數，就有極限的問題：收斂、還是發散、還是不存在？ 我們現在也不去深究這個問題，只是讀者應該知道， 存在一個稱為 收斂半徑 的非負實數 R， 使得當 x 在 內部的時候，此級數收斂。 而當 x 在 外部的時候，此級數發散。 如果對所有實數它都收斂，我們簡寫 。 但是，我們總不忘提醒讀者，這只是個方便的記號。 因為「無窮大」不是一個實數，所以其實不能寫那個等號的。 如果收斂半徑 R 是個實數， 則上述理論中，對於當 或者 的時候，其實並無結論。 對於這兩個點，我們需要針對每一個個案去研究，沒有一般的結果。 在一個正常的一學年理工科微積分課程中， 通常在下學期就會學到收斂半徑 R 的計算法。
以上的多項式部分，稱為 泰勒多項式 (Taylor polynomial)。
至於誤差項 ， 我們先按住不談。也許讀者應該知道， 具有不只一種表達的型式。常見的有兩種型式： 一種積分型式，和一種微分型式。 而且，這兩種型式，都是在泰勒提出這個算法之後 50 年左右才定案的。 所以，對於微積分的初學者而言， 稍微延後幾個月知道這些結果，也不為過。
如果 是一個在 x 0 處無限次可微的函數，則 以上的無窮級數就稱為 泰勒級數 (Taylor series)。 您可以想像他就是一個無窮高階的泰勒多項式。 但是，談到級數，就有極限的問題：收斂、還是發散、還是不存在？ 我們現在也不去深究這個問題，只是讀者應該知道， 存在一個稱為 收斂半徑 的非負實數 R， 使得當 x 在 內部的時候，此級數收斂。 而當 x 在 外部的時候，此級數發散。 如果對所有實數它都收斂，我們簡寫 。 但是，我們總不忘提醒讀者，這只是個方便的記號。 因為「無窮大」不是一個實數，所以其實不能寫那個等號的。 如果收斂半徑 R 是個實數， 則上述理論中，對於當 或者 的時候，其實並無結論。 對於這兩個點，我們需要針對每一個個案去研究，沒有一般的結果。 在一個正常的一學年理工科微積分課程中， 通常在下學期就會學到收斂半徑 R 的計算法。
如果對所有實數它都收斂，我們簡寫 。 但是，我們總不忘提醒讀者，這只是個方便的記號。 因為「無窮大」不是一個實數，所以其實不能寫那個等號的。
如果收斂半徑 R 是個實數， 則上述理論中，對於當 或者 的時候，其實並無結論。 對於這兩個點，我們需要針對每一個個案去研究，沒有一般的結果。 在一個正常的一學年理工科微積分課程中， 通常在下學期就會學到收斂半徑 R 的計算法。
在一個正常的一學年理工科微積分課程中， 通常在下學期就會學到收斂半徑 R 的計算法。
泰勒多項式和泰勒級數，其實還有另一種常見的寫法。 我們只舉出多項式 + 部分和的寫法，級數寫法也是類似的。
舉一個例子。令 則若 x 在 0 的左邊函數根本沒有定義，所以我們不能在 0 的附近做泰勒展開。 但是， 在 x = 1 卻是無限次可微的，我們可以在 x = 1 的附近做泰勒展開。先求 的各次導數如下： 代入泰勒級數的公式，就得到 這個公式或許麻煩了一點，但是只要做一個平移，就得到 這就是 在 x = 0 附近的泰勒展開。 其實，利用無窮等比級數，就可以得到 如果我們可以在上式中的 x 代入 -x，就得到前面的泰勒展開了。 可見，用無窮等比級數所得到的收斂區間並不夠大。 確實的收斂區間是什麼呢？我們直接從圖形來觀察。 ln(x) 在 1 附近 1 階泰勒多項式 ln(x) 在 1 附近 3 階泰勒多項式 ln(x) 在 1 附近 5 階泰勒多項式 ln(x) 在 1 附近 7 階泰勒多項式 我們已經從無窮等比級數那裡，得知 的泰勒級數在 (-1, 0] 區間內收斂。 再配合以上圖形，讀者不難猜想，收斂半徑應該是 R = 1。 也就是說，當 時，泰勒級數收斂。
那麼，當 x = -1 或 1 的時候是否收斂呢？ 如果 x = -1，因為 本身就無意義，所以沒什麼好談的。 至於 x = 1 嘛，有數學定理可以證明它收斂，但是那還要過一陣子才學得到。 現在，我們先用數值計算的結果來看： nln(x+1) 在 0 附近 n 階泰勒多項式當 x=1 的值 10 0.7456349206349208 100 0.6981721793101957 1000 0.6936474305598229 10000 0.6931971830599594 100000 0.6931521805849820 1000000 0.6931476805602546 由此可見，當 x = 1 時， 的泰勒展開應該是收斂的，所以 在十七世紀微積分啟蒙時期，這是一個令人振奮的重要發現。