羅必達法則

回顧一個不定型式的極限問題： 如果



則


稱為 類型的 不定型式 極限問題。

如果 和 分別都在 c 點附近可以寫成以 c 為參考點的泰勒級數 (收斂半徑 R > 0)，則



既然我們已經假設函數在 c 可微，那麼他們當然在 c 連續。 因此，



其實也就是說 。 於是，它們的商其實是


將左式之分子與分母同除以 x - c 就不難看出


簡單地說，就是


如果取了一次導函數之後，取極限還是 的不定型式，那就表示


沒關係，那就再微一次，比較它們在 c 點的二次導數。 依此類推，直到它不再是不定型式為止。 (總不能永遠是 不定型式，除非它們兩個本來都是零函數。)

(1) 式就是基本型式的 羅必達法則 ( $\hbox{\rm l'H\^opital}$ Rule)。 羅必達是個法國人的名字，在 o 字母上面有個重音符號， 而法語的 H 不發音，所以 l 和 o 要連在一起唸，所以，音譯成中文， 差不多就是羅必達。 羅必達在 1696 年以法文出版了全世界第一本微積分講義，但那不是他自己的作品， 而是翻譯了他的老師 (約翰•白努力) 用德文講課的筆記。 這個計算法則，是白努力在課堂上講過，而羅必達寫在書裡的一則公式。 雖然羅必達在數學界的名聲並不好，但是大家還是習慣用他的名字稱呼這則公式。

前面推導羅必達法則的前提太強了：需要 和 在 c 點無窮次可微，因此才能有泰勒級數。 其實，這樣說是為了讀者瞭解的方便， 也是當年白努力那個時代，對於這個計算法則的認識。 當時的數學家沒去想那麼多細節。 讀者自己想想看，到目前為止您遇到過的函數， 是不是只要可微，就無窮多次可微呢？ 那些只能可微一兩次，再來就不可微的函數，是比較後來才發現的。

後世的數學家逐漸發現，這個法則可以在更少的前提下運作。 以下，我們就敘述，但不證明，現代版的羅必達法則。

若 c 是 (a, b) 區間內的一個點，而且以下條件成立：
  1. 如果 和 都在 (a, b) 區間內一次可微，但是它們可以在 c 點不可微。
  2. 如果


  3. 如果


    極限存在，這包含了發散到 或 ， 或者收斂到一個實數 T 兩種狀況。
則


習題

  1. 請問


  2. 請問


  3. 請問


  4. 請問


  5. 若 是一個在所有實數上至少一次可微的函數，請問


  6. 若 是一個在所有實數上至少兩次可微的函數，請問


  7. 若 是一個連續函數，請問


  8. 請問


  9. 請問


  10. 請問 [FD]


Created: Aug 18, 2001
Last Revised: Aug 18, 2001
© Copyright 2001 Wei-Chang Shann 單維彰