不定型式的極限問題

除了這種不定型式以外，以下都是不定型式。不定型式的極限值，什麼都有可能，千萬不要亂猜。

以上所有出現

的地方，都可以代入

而得到對應的結果，因此都不再贅述。

不論哪一種不定型式，總是可以設法轉換成的型式。以下，我們各舉一個例子，來看看可以怎麼變換。

若

$\begin{displaymath} \lim_{x\to c}f(x)=\infty\quad\mbox{and}\quad \lim_{x\to c}g(x)=\infty \end{displaymath}$

則取了倒數之後，就是

$\begin{displaymath} \lim_{x\to c}\frac1{f(x)}=0\quad\mbox{and}\quad \lim_{x\to c}\frac1{g(x)}=0 \end{displaymath}$

所以很自然地

$\begin{displaymath} \lim_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)} \end{displaymath}$

就成了

的不定型式。

因此，我們知道，無論是還是的不定型式，都可以直接使用羅必達法則。

這裡我們舉兩個例子：

$\begin{displaymath} \lim_{x\to0} \frac1{x} \ln(1+x) = \lim_{x\to0}\frac{\ln (1+x... ...rac{\displaystyle \frac1{1+x}}1 = \lim_{x\to0} \frac1{1+x} = 1 \end{displaymath}$

還有

$\begin{displaymath} \lim_{x\to0} x \ln\frac1{x} = \lim_{x\to0}\frac{-\ln x}{\dis... ...le -\frac1{x}}{\displaystyle -\frac1{x^2}} = \lim_{x\to0}x = 0 \end{displaymath}$

以下這個例子，其實有更簡單的解法 (因式分解)，但是我們故意使用羅必達法則以作為練習。

$\begin{eqnarray*} &&\lim_{x\to1}\Bigl(\frac1{x^2-3x+2} - \frac1{2x^2-5x+3}\Bigr)... ...{x-1}{2x^3-9x^2+13x-6} = \lim_{x\to1}\frac{1}{6x^2-18x+13} = 1 \end{eqnarray*}$