微分連鎖律應用在積分上

我們先複習最基本的不定積分公式：

積分的演算不像微分一樣的規律化， 我們必須能夠「逆向思考」---我們要預估一個函數 ， 使得它的導函數是被積分函數 。 有些情況是容易預見的，例如求 我們很容易可以預見 把 2 除去，便知道 cos(2x) 的不定積分 (反導函數) 就是 再例如求 1/(2x - 1) 的不定積分，因為我們很容易可以預見 把 2 除去，就知道

但是，如果要求 3x²cos x³ 的不定積分，就沒有這麼簡單了。 這時候，我們必須熟練地使用微分連鎖律，要預見 才能得到 3x²cos x³ 的不定積分 sinx³+C。

把微分連鎖律熟練而巧妙地應用到不定積分的問題上，需要很多的練習。 以下，是應用微分連鎖律到積分問題上的一個「指導原則」：

求 的時候，企圖找到一個函數 w(x)， 使得 f(x) 可以寫成 g(w) w ' (x) 的型式。 如此一來，則

在熟悉了這個原則之後，我們就可以看得出來

習題

1. 以下有 26 個函數，請分別對它們的自變量寫出它們的反導函數。 這些是最最基本的心算練習， 我們都不驗收。但是，同學們如果有不會做的，自己要警惕，並且找助教幫忙。[HH]
   
   
   
2. 請問
   
   
   
   
3. 請問
   
   
   
   
4. 請問
   
   
   
   
5. 請問
   
   
   
   
6. 請問
   
   
   
   
7. 請問
   
   
   
   
8. 請問
   
   
   
   
9. 請問
   
   
   
   
10. 請問
    
    
    
    
11. 請問
    
    
    
    
12. 請問
    
    
    
    
13. 請問
    
    
    
    
14. 請問
    
    
    
    
15. 請問
    
    
    
    
16. 請問
    
    
    
    
17. 請問
    
    
    
    
18. 定義函數 f(x) 在 [a, b] 中的 平均值 (avegrage) 是
    
    
    
    那麼，請問 sin(x) 在 [0, Pi/2] 內的平均值是多少？
19. 定義函數 f(x) 在 [a, b] 中的 平均值 (avegrage) 是
    
    
    
    那麼，如果 6/x² 在 [1, c] 內的平均值是 c， 請問 c 是多少？[HH]
20. 計算 1 - x² 和 x² 兩條函數曲線所圍成的面積。
21. 計算 x(x - Pi) 和 sin(x) 兩條函數曲線所圍成的面積。[HH]