積分的線性、方向性、銜接性和保序性

首先，我們再度複習柯西 (Cauchy) 型式的積分定義。 先是給定一個閉區間 $[a,b]$ 和一個正整數 n，我們將 $[a,b]$ 均勻切割 (uniform partition) 成 n 等分。 每一等分的寬度就是

\begin{displaymath} \Delta x = \frac{b-a}n \end{displaymath}

符號 $\Delta$ 唸做 delta，它是希臘字母 $\delta$ 的大寫符號。而分割這 n 等分的 n + 1 個點， 稱為 節點 (nodal point)，它們是
\begin{displaymath} x_0 = a\quad\mbox{and}\quad x_k = x_{k-1}+\Delta x,\quad\mbox{for}\quad k=1,2,3,\ldots,n \end{displaymath}

換句話說，它們也就是
\begin{displaymath} x_k = a + k\Delta x,\quad\mbox{for}\quad k=0,1,2,\ldots,n \end{displaymath}

在這 n 等分上，我們以 $[x_{k-1}, x_k]$ 為寬、以 $f(x_{k-1})$ 為高，做成 n 個矩形。令這 n 個矩形的面積和是
\begin{displaymath} L_n = \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\cdot(x_k - x_{k-1}) = \Delta x\,\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \end{displaymath}

而所謂的 柯西積分定理 (Cauchy integral theorem) 就是說
如果 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 閉區間內的連續函數，則
\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty} L_n = I \end{displaymath}

極限收斂到一個實數 I，而它就是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 內的積分值，記做
\begin{displaymath} \int_a^b f(x)\,dx \end{displaymath}

而我們稱 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 內「可積」(integrable)。

另一方面，微積分基本定理說，如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的反導函數，亦即 $F'(x)=f(x)$， 則

\begin{displaymath} \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \lim_{n\to\infty} L_n \end{displaymath}

以下介紹定積分的四個基本性質。

線性 (Linearity)

若 c 是一個實數，而 $f(x)$ 和 $g(x)$ on ab 都在 $[a,b]$ 內可積。則直接根據上述 Ln 的定義以及極限的線性性質， 就能瞭解：

\begin{displaymath} \int_a^b c\cdot f(x)\,dx = c\,\int_a^b f(x)\,dx \end{displaymath}

和
\begin{displaymath} \int_a^b f(x)+g(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx +\int_a^b g(x)\,dx \end{displaymath}

這兩個性質 (以上的加號，若 $g(x)$ on ab 換成 則減號就自然成立了)，合稱為積分的線性性質。

方向性 (Orientation)

如果 $a<b$ 則


這是因為，由 的定義，現在變成了
\begin{displaymath} \Delta x = \frac{a-b}n = -\frac{b-a}n \end{displaymath}

因此，不難看出來，整個矩形的「面積」變了號。換個看法，如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的反導函數，則
\begin{displaymath} \int_b^a f(x)\,dx = F(a) - F(b) = -\bigl(F(b) - F(a)\bigr) = -\int_a^b f(x)\,dx \end{displaymath}

這是初學者最容易疏忽的一個基本性質，所以，請留意了。

銜接性 (Concatenation)

首先，我們假設 $a<c<b$ 而且 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 內都可積，則因為這兩個定積分各自代表 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 區間內和 x 軸圍成的面積 (現在我們只談 $f(x)$ 是正值函數的情況，其他情況也類似，請讀者自己去推廣吧)， 以及 $f(x)$ 在 $[c,b]$ 區間內和 x 軸圍成的面積，所以很直覺就應該瞭解：

\begin{displaymath} \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \eqno(1) \end{displaymath}

但是，再想想，即使 $a<b<c$ 運用積分的方向性，我們還是一樣可以得到
\begin{eqnarray*} &&\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx +\... ...b^c f(x)\,dx - \int_b^c f(x)\,dx \\ &&\quad = \int_a^b f(x)\,dx \end{eqnarray*}

因此，不論 c 是哪個實數，只要 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 內都可積，則 (1) 式總是對的。

保序性 (Order Preserving)

若 $f(x) \leq g(x)$ 對所有的 $x\in[a,b]$ 都成立，而且 $f(x)$ 和 $g(x)$ on ab 都在 $[a,b]$ 內可積。那麼很顯然地

\begin{displaymath} \Delta x\,\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \leq \Delta x\,\sum_{k=0}^{n-1} g(x_k) \end{displaymath}

利用極限的保序性質，我們得知
\begin{displaymath} \int_a^b f(x) \,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx \end{displaymath}

習題

  1. 如果 而且 請問


  2. 定義 標準正規分佈函數 如下：


    如果給定以下估計值表格：[HH]
    x
    10.3413
    20.4772
    30.4987
    40.5000
    請問


  3. 定義 標準正規分佈函數 如下：


    如果給定以下估計值表格：[HH]
    x
    10.3413
    20.4772
    30.4987
    40.5000
    請問


  4. 定義 標準正規分佈函數 如下：


    如果給定以下估計值表格：[HH]
    x
    10.3413
    20.4772
    30.4987
    40.5000
    請問


    [提示：考慮 N(x) 是奇偶性質？]
  5. 說明為什麼


  6. 說明為什麼


Created: Aug 20, 2001
Last Revised: Aug 20, 2001
© Copyright 2001 Wei-Chang Shann 單維彰