積分的變數變換

其實，積分的 變數變換 (change of variables) 技巧， 說穿了還是微分連鎖律的應用，只是當被積分函數 $f(x)$ 沒那麼容易看成

\begin{displaymath} f(x) = g(w)w'(x) \end{displaymath}

則我們令 $f(x)$ 的其中一部份為
\begin{displaymath} g(x) = w \end{displaymath}

然後做變數變換
\begin{displaymath} x = g^{-1}(w) \end{displaymath}

要注意的是 dx 也要變成 dw，方法是
\begin{displaymath} \frac{dw}{dx} = g'(x) \end{displaymath}

因此我們寫
\begin{displaymath} dx = \frac1{g'(x)}\,dw \end{displaymath}

然後，盡一切努力把被積分函數全部換成 w 變數， 並且祈禱新的積分問題比較簡單。 初學的人不見得很容易找到正確的變換對象。 唯有多練習囉。

以下我們舉一些例子。 這些例子已經不算非常基本的積分技巧，只是放在這裡提供給讀者欣賞淺嚐。 以下的習題，其實比以下所展示的例題，要簡單一些。

例一

考慮

\begin{displaymath} \int (x+4)\root 3\of{2-x}\,dx \eqno(1) \end{displaymath}

令 $2-x = w$ 則因為
\begin{displaymath} \frac{dw}{dx} = -1 \end{displaymath}

所以 $dx = -dw$ 因此
\begin{eqnarray*} (1) &=& \int (2-w+4)\root 3\of w \,(-dw) = \int (w-6)w^{1/3}\,... ... w^{4/3} + C \\ &=& \frac37(2-x)^{7/3} - \frac92 (2-x)^{4/3} +C \end{eqnarray*}

例二
考慮
\begin{displaymath} \int \cos\theta\sin^3\theta\,d\theta \eqno(2) \end{displaymath}

令 $\cos\theta = w$ 則因為
\begin{displaymath} \frac{dw}{d\theta} = -\sin\theta \end{displaymath}

所以 $d\theta = \frac{-1}{\sin\theta}\,dw$ 因此
\begin{eqnarray*} (2) &=& \int w\,\sin^3\theta\,\frac{-1}{\sin\theta}\,dw =-\int... ...-\frac12 w^2 + C =\frac14 \cos^4\theta- \frac12 \cos^2\theta + C \end{eqnarray*}

例三
考慮
\begin{displaymath} \int \sqrt{1-\sqrt x}\,dx \eqno(3) \end{displaymath}

令 $1-\sqrt x=w$ 則因為
\begin{displaymath} \frac{dw}{dx} = \frac{-1}{2\sqrt x} \end{displaymath}

所以 $dx = -2\sqrt x\,dw = -2(1-w)\,dw = (2w-2)\,dw$ 因此
\begin{eqnarray*} (3) &=& \int \sqrt w (2w-2)\,dw = \int 2w^{3/2} -2w^{1/2}\,dw ... ... + C = \frac45 (1-\sqrt x)^{5/2} - \frac43 (1-\sqrt x)^{3/2} + C \end{eqnarray*}

習題

  1. 請問


  2. 請問


  3. 請問


  4. 請問


  5. 請問 [HH]


  6. 請問 [HH]


Created: Dec 11, 1996
Last Revised: Aug 21, 2001
© Copyright 2001 Wei-Chang Shann 單維彰