分部積分

分部積分 (integration by parts) 是積分演算的一大技巧。其基本形式如下：

這個式子是用微分乘法律導出來的。假如 u(x) 和 v(x) 都是可微函數，則

然後可以改寫成

兩邊做積分，不必把左邊的常數項 C 寫出來，因為右邊還有不定積分，它們會產生那個常數項。所以就得到

以上左邊的等號是因為

而我們只是沒寫 C 而且把 x 換成了 uv。至於右邊，因為

所以簡寫

同理

然後移項就可以得到分部積分的一般性公式了。

分部積分的運用之妙，主要寄託於 u 和 v 是否取得恰當？如果恰當，則會比原來的問題好算，否則就變得更難算。

例一

考慮

令

而

，所以

而

。這時候我們還是可以省略那個常數項 C，因為整個積分式中，還有不定積分，那個 C 可以留給它。現在我們可以接著算

例二

考慮

令

而

，所以

而

。現在我們可以接著算

如果要做定積分，分部積分的公式就寫成了

以下看一個例子。

例三: 考慮

令而，所以而。現在我們可以接著算

有時候，分部積分要做兩遍才能解決問題。以下看兩個例子。

例四

考慮

$\begin{displaymath}\int x^2\sin x\,dx \eqno(4)\end{displaymath}$

令

而 $dv = v'\,dx = \sin x\,dx$ 所以 $du=2x\,dx$ 而 $v = \int\sin x\,dx = -\cos x$ 。現在我們可以接著算

$\begin{displaymath}(4) = -x^2\cos x + 2\int x\cos x\,dx\end{displaymath}$

雖然還沒解決問題，但是至少有點起色：x 的次方降了一。那麼就依樣再畫一次葫蘆。這時候令

而 $dv =\cos x\,dx$ 所以

而 $v = \int\cos x\,dx = \sin x$ 現在我們可以再接著算

$\begin{eqnarray*} (4) &=& -x^2\,\cos x + 2\bigl(x\sin x - \int\sin x\,dx\bigr) \\ &=& -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C \end{eqnarray*}$

例五

考慮

$\begin{displaymath}\int e^x \sin x\,dx \eqno(5)\end{displaymath}$

令

而 $dv = \sin x\,dx$ 所以 $du=e^x\,dx$ 而 $v = \int\sin x\,dx = -\cos x$ 現在我們可以接著算

$\begin{displaymath}(5) = -e^x\cos x + \int e^x \cos x\,dx \eqno(6)\end{displaymath}$

問題好像根本沒有改變，但是注意，一次分部積分之後，sin 變成了 cos，那麼如果再做一次，應該會變回去 sin。這樣就可以求解。於是我們依樣再畫一次葫蘆。這時候令

而 $dv =\cos x\,dx$ 所以 $du=e^x\,dx$ 而 $v = \int\cos x\,dx = \sin x$ 所以

$\begin{displaymath}\int e^x \cos x\,dx = e^x\sin x - \int e^x \sin x\,dx \eqno(7)\end{displaymath}$

結合 (5), (6), (7) 式，得到

$\begin{displaymath}\int e^x \sin x\,dx= -e^x\cos x + e^x\sin x - \int e^x \sin x\,dx\end{displaymath}$

將以上等式可以寫成

$\begin{displaymath}2\int e^x \sin x\,dx= e^x\sin x - e^x\cos x\end{displaymath}$

所以解得

$\begin{displaymath}\int e^x \sin x\,dx= \frac{e^x}2\,\bigl(\sin x - \cos x\bigr)+C\end{displaymath}$

習題

請問
請問
請問
請問
請問
請問
請問
請推導以下等式
請推導以下等式

Created: Dec 18, 2001
Last Revised: Aug 22, 2001
© Copyright 2001 Wei-Chang Shann 單維彰