這一篇的主題是介紹閉區間中連續函數所特有的性質, 我們不證明這些性質(至少在這一篇中不證明),但是希望能給讀者一個初步的概念, 瞭解為什麼會有這些性質?而如果函數在閉區間中不連續, 或者連續但不是在閉區間中,為什麼就沒有這些性質?
如果存在一個正實數 M 使得 f(x) 在某個 x 的範圍內符合
閉區間中的連續函數都有界:
若 f(x) 是 [a,b] 區間中的連續函數,則存在一個正實數 M 使得為什麼會這樣呢? 那是因為我們假設 f(x) 在閉區間 [a,b] 上是連續的,所以
中間值定理是說,若 f(x) 是閉區間 [a,b] 內的連續函數, 則 f(x) 會映射到 f(a) 與 f(b) 之間的每一點。 直覺地看,如果 x 代表時間而 f(x) 代表位置, 則物體若從時間 a 所在的 f(a) 點移動到時間 b 所在的 f(b) 點, 它當然會經過 f(a) 與 f(b) 之間的每一點。 它有可能在 f(a) 與 f(b) 之間來回往返了好幾回, 還甚至有可能跑到比 f(b) 更遠的地方再折回 f(b),但是這些我們都不知道, 也不去管,我們可以肯定的是,它經過了 f(a) 與 f(b) 之間的每一點至少一次! 數學的敘述是:
若 f(x) 是 [a,b] 區間中的連續函數,則對任何一點以上我們用了兩個希臘字母,
都存在一個
中間值定理有一個重要的推論,就是說
若 f(x) 是 [a,b] 區間中的連續函數,而且如果如果我們接受中間值定理,則以上敘述非常明顯: 如果 (1) 式中的等號成立,則 f(a) 和 f(b) 其中至少有一個是 0, 所以 a 或 b 其中至少一個是 f(x) 的根。 如果 (1) 式中的小於關係成立,則 f(a) 和 f(b) 異號: 也就是說若 f(a) > 0 則 f(b) < 0, 反之若 f(a) < 0 則 f(b) > 0。 不論如何,0 就是 f(a) 與 f(b) 之間的一個數, 根據中間值定理 (也就是取
則 f(x) 在 [a,b] 內有一個根;也就是說,存在一個數使得
若 f(x) 是 [a,b] 區間中的連續函數,則存在一個數許多初學者會直覺地認為,連續函數在最大值處的導數為 0。 這未必。例如下面左邊的圖是 1 - |x| 在 [-1,1] 內的曲線, 它在 x=0 處有最大值,但是在 x=0 處沒有導數 (不可微)。 我們已經知道,可微函數必定連續,但是連續函數不一定可微。 如果一個函數可微,則它在導數為 0 的地方會有相對極大值, 它倒不一定會是整個函數在 [a,b] 區間內的最大值。 例如下面右邊的圖,該函數在 [-2,2] 內連續, 在 x=-1 處有水平切線 (導數為 0),達到一個極大值, 但是顯然整個函數在 [-2,2] 的最大值發生在 x=2 處。使得
我們稱 f(x) 在處有最大值,而 是 f(x) 在 [a,b] 內的最大值。
1 - |x| | x^3/2 + x^2/4 - x + 2 |
---|---|
也有人會不假思索地假設,如果 f(x) 有最大值,那個最大值是唯一的。
再仔細一點想,就知道這是謬誤的概念。
譬如 sin(x) 在
相對於最大值定理,還有個最小值定理,但是我們將它留作習題。
這是我們已經在別的講義中說過的事,在此提醒一遍。 簡單地說,就是閉區間中的連續函數必可積。 如果這個函數找得到反導函數,那就好辦; 如果找不到,就得要回歸「曲線下面積是小矩形的面積和」這個基本看法。 而這個看法牽涉到一個無窮數列,而無窮數列就有極限不存在、發散或收斂的情形。 柯西積分定理就是說,別擔心,對於閉區間中的連續函數, 這個數列必定收斂。 在別的講義中,我們大概說的是一個比較簡單的形式。 現在說一個涵蓋比較廣泛的版本。
如果 f(x) 是 [a,b] 區間中的一個連續函數。 任選一個正整數 n,把 [a,b] 區間等分成 n 段,則每一段的長度是
閉區間中的不連續函數,有以下兩種典型:
兩個都是 [-1,1] 閉區間中的不連續函數。
左邊的圖是在 x=0 處無定義,而且其趨近於 0 的極限發散。
右邊的圖是在 x=0 的左、右極限都存在,可是不相等。
1/x^2, -1 <= x <= 1 | f(x) = 1 (if x >= 0) -1 (else) |
---|---|
非閉區間中的連續函數,有以下兩種典型。
左邊的圖是在 (0,1] 中的連續函數,它在 x=0 處不需要定義,
因為我們根本不考慮 x=0 這一點的函數值 (它不在函數的定義域內)。
右邊的圖是在
上面兩張圖,都顯然不符合「有界」和「最大值」定理。
至於中間值定理,因為上面兩個函數所定義的區間沒有「左端點」或是沒有「右端點」,
所以就不必談「介於兩端點的函數值」了。
但是,以上兩個函數是否分別在 (0,1] 中和在
1/x
x^2
Created: Nov 13, 1996
Last Revised: Aug 23, 2001
© Copyright 2001 Wei-Chang Shann 單維彰