積分均值定理

我們早就知道，如果有有限多個數 則它們的平均數就是



那麼，我們可以想像 f(x) 在 [a,b] 區間內代表無限多個數， 要怎樣定義這些數的「平均」呢？ 一個頗為直覺的看法，就是說如果 f(x) 在 [a,b] 區間內與 x 軸圍成的面積， 和一個以 [a,b] 為寬、以 M 為高的矩形面積相等， 則 M 就是 f(x) 在 [a,b] 內的 平均值 或 積分平均值。

所以我們看到，只要 f(x) 在 [a,b] 區間內的定積分值存在 (是個實數)， 就能定義 f(x) 的平均值。f(x) 不一定要是連續函數。 但是，如果它的確是個連續函數，則有個更多一點的結論： 那就是 f(x) 會「達到」它的平均值。 也就是說，函數在某個點會等於它的平均值。 這就是所謂的 積分均值定理，其數學敘述如下：

若 f(x) 是 [a,b] 區間中的連續函數，則存在一個數 使得


以下我們說明這個定理成立的理由。

若 f(x) 是 [a,b] 中的一個連續函數。 由最大值與最小值定理，存在 m 和 M，使得



令


是將 [a,b] 等分成 n 段所造成的矩形面積和，顯然


根據極限的保序性質，以及柯西積分定理，我們知道


令


則根據前兩條式子可以看出來 。 所以，根據中間值定理，存在 使得 ， 這就幾乎是我們要證明的，現在只要說明 可以不必是 a 也不必是 b。所以，我們必定可以找到一個 使得 (1) 式成立。

我們先說明為什麼 不必選 a。 試想，如果 f(a) 恰好是 f(x) 在 [a,b] 內的積分平均值， 而且 f(a) 又是最小值的話，那表示 f(x) 根本是一個常數函數 (對於一個連續函數而言，只有常數函數的平均值等於最小值， 讀者稍微想一下就會明白的)， 所以那個 當然可以從 (a,b) 開區間內選任意一個數。同理， 如果 f(a) 恰好是 f(x) 在 [a,b] 內的積分平均值， 而且 f(a) 又是最大值的話，那也表示 f(x) 根本是一個常數函數，因此 可以從 (a,b) 開區間內選任意一個數。 現在我們討論最後一種狀況： 如果 f(a) 恰好是 f(x) 在 [a,b] 內的積分平均值， 但是它既不是最小值，也不是最大值。 則若 f(x) 在 x1 處發生最小值，在 x2 處發生最大值， 為了方便起見我們假設 x1 < x2 (否則以下的區間全部反過來寫就行了)。那麼， 而且 f(x) 在 [x1,x2] 裡面還是一個連續函數。 因為 f(x1) < f(a) < f(x2) 所以存在一個 使得 因此，我們選這個 作為達到積分平均值的點即可，不必選 a。 同樣的論調也可以應用在 f(b) 上面，所以也不必選 b。

習題

  1. 請計算 x2 在 [-1,1] 區間內的積分平均值。 並且在 (-1,1) 中找到一個「達到」此平均值的點。
  2. 請計算 sin(x) 在 內的積分平均值。 並且在 中找到一個「達到」此平均值的點。
  3. 請計算 sin(x) 在 內的積分平均值。 並且在 中找到一個「達到」此平均值的點。
  4. 如果 f(x) 和 g(x) 都是在 [a,b] 區間內的連續函數，而且


    請問 f(x) 在 [a,b] 內的積分平均值是否必定 <= g(x) 在 [a,b] 內的積分平均值？ 如果您認為是，請說明理由；否則請舉一個反例。
  5. 令 G(x) 是 在 [0,x] 區間內的積分平均值。請問


  6. 令 G(x) 是 在 [1,x] 區間內的積分平均值。請問


Created: Nov 15, 1996
Last Revised: Aug 23, 2001
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