在前一講裡面，我們介紹閉區間中連續函數之基本特性的時候， 就引出了一個問題：那些在閉區間中不連續， 或者在開區間、無窮長的區間中連續的函數，能不能積分呢？ 答案是有些能、有些不能。 要正式回答這個問題之前，我們想要對「不連續」函數，有更進一步的認識。
我建議讀者，在繼續之前，自己回想一下，函數連續的定義是什麼？ 函數如果不連續，則有些什麼狀況？ 如果不能自問自答，就請您花點時間回去第 11 講， 看看【函數的連續性質 (定義)】這一份講義。
首先，我們更為詳細地看看函數極限不存在的狀況。 請讀者自行對照第 15 講【極限的存在、發散、收斂】那一份講義。 以下的講義，是那一份講義的再深入探索。
根據函數在不連續處的極限，我們可以討論不連續函數的可以補救或不可補救狀況。 有些函數原先只定義在開區間 (a,b) 裡面，而且在 (a,b) 中連續。 對於這些函數，我們或可「拓展」它的定義到閉區間 [a,b] 上面， 而且在 [a,b] 中連續。這樣，它就享有閉區間中連續函數的各種好性質了。 最後，我們舉出一些比較「病態」的例子，用以進一步闡述