可拓展的連續函數
有些函數本來就定義在一個開區間 (a,b) 裡面。
像哪些函數呢？最主要的例子就是導函數。
如果 f(x) 是一個 [a,b] 區間中的函數，
所謂 f(x) 的導函數是從 x 映射到 f(x) 之導數 (切線斜率) 之函數。
但是，在兩端點 f(a) 和 f(b) 我們根本不能定義它們的導數，
所以我們向來不在閉區間內探討一個函數的可微性質。
這就是為什麼 f(x) 充其量也只是在 (a,b) 內可微，
因此它的導函數 f'(x) 就是一個定義在 (a,b) 內的函數。
讓我們多說兩句，解釋為什麼不能在閉區間的兩端點討論導數。
以左端點為例，f(x) 在 x=a 處的導數，按照定義應該是
而上述極限若要收斂，必須它的左極限與右極限都存在且相等。
但是，現在 f(x) 在 a 的左邊根本沒定義，所以上述極限問題的左極限根本沒得算，
因此就不能談極限了。
從圖形的直覺上來說，如果我們只看到 f(x) 在 a 的右邊的曲線圖形，
而不知道 f(x) 在 a 的左邊的曲線圖形，
所以無法判斷究竟 f(x) 在 x=a 處的切線是哪一條直線？
如果 f(x) 是一個定義在 (a,b) 區間中的函數。
那麼雖然 f(x) 在兩端點沒定義、卻在左、右端點分別有右、左極限可以討論。
也就是
我們說明以下兩種狀況：
- 如果 f(x) 在 x=a 的右極限發散或不存在，則不能定義 f(a) 的值使得
f(x) 在 x=a 處連續。
- 如果 f(x) 在 x=a 的右極限收斂到一個實數 T，則可以定義 f(a) 的值使得
f(x) 在 x=a 處連續，新定義的函數，在每個點都和原來的 f(x) 一樣，
只是增加了在 a 點的定義，所以叫做 f(x) 的 拓展
或者更詳細地稱為 連續拓展 (continuous extension)。
上述狀況都可以應用在右端點 x=b 處，只要把右極限改成左極限就行了，
因此不再贅述。
舉例來說，考慮 [0,1] 區間中的
習題
Created: Aug 24, 2001