微分均值定理

針對開區間中可連續拓展的函數，我們可以敘述並證明簡單版本的 微分均值定理。 讓我們先敘述它：

如果 f(x) 是 (a,b) 區間中的可微函數，而且

• f'(x) 在 (a,b) 區間中是連續函數。
• f'(x) 可以連續拓展到兩端點，使其變成 [a,b] 中的連續函數。

(我們稱這類函數為 一次可微連續 函數，記做 C¹ 函數) 則存在某數 使得

曲線中必存在某處的切線平行於割線

運動中必有一剎那的瞬間速度等於平均速度

以下，讓我們說明，為什麼微分均值定理 (在以上假設的條件下) 會是正確的？ 首先，我們複習 積分均值定理：

若 f(x) 是 [a,b] 區間中的連續函數，則存在一個數 使得

在一般情況下，上述的某數 只能肯定在 (a,b) 之內，既不能確定它在哪裡，也不能確定它到底有幾個選擇？ 讀者可以想像一個運動，如果我們只知道整個運動過程的平均速度， 根據微分均值定理，只能肯定在整個運動過程中，有一剎那的速度等於平均速度， 而運動的可能性有那麼多種，我們怎麼可能知道，究竟是哪個剎那， 發生了瞬間速度等於平均速度的情況？

微分均值定理有一個常用的特例，稱為 Rolle 定理： 如果 f(x) 在 [a,b] 中是一個 C¹ 函數，而且 f(a) = f(b) = 0，則存在一點 使得 f(x) 在 的導數為 0。

習題

1. 請計算 x³ 在 [-1,1] 區間之兩端點形成的割線斜率。 並在 (-1,1) 內找一個點 c 使得在 x=c 處的切線斜率等於割線斜率。 如果需要數值計算，請寫出小數點下四位有效數字。
2. 請計算 sin(x) 在 區間之兩端點形成的割線斜率。 並在此區間內部找一個點 c 使得在 x=c 處的切線斜率等於割線斜率。 如果需要數值計算，請寫出小數點下四位有效數字。
3. 台北圓山到中壢沿高速公路大約有 35 公里，某人開車 35 分鐘就到了。 她宣稱自己遵守交通規則沒有超速，請問是否可能？簡述原因。
4. 不必算出導函數，就知道
   
   
   
   的導函數在 (0,1) 內必有一個根。請簡述理由。
5. 不必算出導函數，就知道
   
   
   
   在 (0,1) 內必有一處發生相對極大或極小值。請簡述理由。