函數極限不存在

如果函數 f(x) 在 x=c 附近有定義，但可能在 c 點沒定義， 則可以討論函數極限問題

1. 左極限和右極限其中之一趨於正無窮大，另外一個趨於負無窮大。
2. 左極限和右極限其中之一趨於正或負無窮大，另一個收斂到某個實數。
3. 左極限和右極限分別收斂到一個實數，但這兩個實數不相等。
4. 左極限或右極限其中之一根本不存在：它既不發散，也不趨近於任何一個實數。

前面四種情況的前三種，我們都已經在別的講義中談過，也舉過一些例子。 我們曾經說，更為「病態」的例子，不應在初學的時候就舉出來， 而應該等候學習者對於數學函數稍微更熟練之後，才開始看這些特例。 現在，我們看第四種情況：左極限或右極限根本不存在的例子。 因為左極限或是右極限，其實可以互相類推， 所以我們在此只考慮右極限就可以了。

右極限不存在的典型範例，就是

sin(1/x), x=0.01..Pi

如果不想倚賴視覺直覺，數學理論也提供一個檢測的方法。 但是這個方法牽涉到數列的極限問題。我們現在還不打算談那種問題， 所以留到以後適當的機會再說。

函數的極限和函數的連續性質，是一體之兩面：它們是息息相關的。 如果函數 f(x) 在 x=c 處的極限不存在，則它在 x=c 必定是不連續的。 而如果函數 f(x) 在 x=c 處的右極限或左極限其中只要有一個不存在， 它的極限就不存在了；所以也就不連續了。

習題

1. 若定義
   
   
   
   請問 f(x) 在 x=0 處是否連續？簡述理由。
2. 若定義
   
   
   
   請問 f(x) 在 x=0 處是否連續？簡述理由。
3. 若定義
   
   
   
   請問 f(x) 在 x=0 處是否連續？簡述理由。
4. 若定義
   
   
   
   請問 f(x) 在 x=0 處是否連續？簡述理由。
5. 若定義
   
   
   
   請問 f(x) 在 x=0 處是否連續？簡述理由。
6. 若定義
   
   
   
   請問 f(x) 在 處是否連續？簡述理由。