相對於微分理論只有一種，積分理論卻有許多種。 我們已經知道柯西 (Cauchy) 積分理論，現在提到黎曼 (Riemann) 積分理論， 以後讀者或許還會學到其他。 這種種的積分理論，無非都是想要「直覺上有面積」的區域， 都能根據嚴格的數學定義把那個「面積」算出來。 柯西理論可以把所有閉區間中連續函數與 x 軸所圍成的面積算出來。 黎曼理論可以把許多種其他類型函數與 x 軸所圍成的面積算出來。 但是，即使在黎曼還活著的時候，狄克雷 (Dirichlet) 就已經提出一個非常病態的函數， 在直覺上那個函數應該圍成一個面積 <= 1 的區域， 但是黎曼理論卻無法確定這個函數是否可積。 換句話說，無法根據黎曼的積分定義，計算出狄克雷之病態函數所圍成的面積。 但是因為狄克雷提出的這種詭異函數實在太病態了， 這種特殊的函數，一般人根本不會想到。所以，通常不在微積分裡面討論它。 為了徹底解決這個問題，數學系（也許還有物理系、統計系）的學生， 將來要在「實變函數論」裡面學習勒貝格 (Lebesgue) 積分理論。 對於絕大多數理工學院的同學，可能是不必關心的。
說前面那段話，並非表明黎曼積分理論不夠完備。 我們的目的，是讓讀者大約知道全貌。同時，我們可以請讀者放心， 黎曼積分理論，已經涵蓋了幾乎所有的積分問題， 只是不能處理一些「非常病態」的問題而已。
其實，大一微積分教材中，根本不會展示黎曼積分理論的推演和證明。 那是「高等微積分」課程的內容。 但是幾乎每一本課本都會煞有其事地敘述黎曼積分定理， 其實我認為那是根本沒意義的事：介紹再多，也是空的。 有些課本敘述的黎曼積分定理，其實是閉區間中連續函數的特例， 也就是說，其實是柯西積分定理。 倒是所謂的 黎曼和 (Riemann sum)，值得在這裡提起。 黎曼和給了我們一個方便的名詞，使我們容易敘述一些關係或現象。 以下介紹黎曼和。
我們還是從閉區間的連續函數說起。 假設 f(x) 是 [a,b] 區間中的一個連續函數。 給定一個正整數 n，則任意在 (a,b) 區間內找 n-1 個點
決定了一個分割之後，令
至於黎曼積分理論是什麼，就不再說下去了。 因為，正如前面所說，反正我們在此時也說不出任何有意義的所以然， 何必去說呢？在此，我們只要瞭解什麼是黎曼和，就好了。
以下介紹四個常見的「選點」規則，它們分別有一個名字。
如果每個點都是第 k 段的左端點：
如果每個點都是第 k 段的右端點：
如果每個點都是第 k 段的最大值 (最大值定理保證它存在)：
如果每個點都是第 k 段的最小值 (最小值定理保證它存在)：
以前我們談柯西積分定理的時候，用的都是均勻分割的左黎曼和。 很明顯地，如果 f(x) 在 [a,b] 中可積， 則任意一個 n 段分割的上黎曼和與下黎曼和， 都必然是積分值的上、下界：