廣義積分

柯西積分理論，確認了閉區間上的連續函數，都是可積的。 至於「非閉區間中連續」的函數，哪些可積、哪些不可積，而它們的積分是什麼意思？ 這些問題屬於所謂的 improper 積分問題裡面。 距今 150 年前，那些「非閉區間中連續」的積分問題，相對於柯西的積分理論， 也許是「不恰當」的。所以，原文稱這類問題為 improper integral， 而許多中文教科書上，稱此問題為 瑕積分。 但是，如今這套理論與計算，已經成為標準的基本積分理論， 實在已經沒有什麼「不恰當」了。 因此，我們不說瑕積分，而稱它 廣義積分。

以下我們列舉所謂「廣義積分」有哪幾種類型。

可補救和可拓展的的不連續函數

其實它們並不真的屬於廣義積分，我們併到這裡一起講。 對於閉區間中可以補救的不連續函數，例如

我們可以視之為連續函數，就按照閉區間中連續函數的方法來計算其積分值。 差一個點，不會影響積分值。例如

sin(x)/x 寫不出基本的反導函數，意思是說，找不到一個基本函數 F(x) 使得 F'(x) = sin(x)/x。所以上述積分要用柯西的極限定義、或者數值積分的計算法來估計。 我只是使用 Maple，指令是

int(sinx(x)/x, x=-Pi..Pi);
evalf(%);

對於開區間 (a,b) 中的連續函數，如果可以透過左、右極限， 連續拓展到閉區間 [a,b] 中，我們就視之為閉區間中的連續函數， 按照閉區間中連續函數的方法來計算其積分值。 差兩個點，不會影響積分值。例如考慮 x²， 不論 x 的範圍是 [0,1] 還是 (0,1) 還是 (0,1] 或 [0,1)， 其積分值都一樣，都是

閉區間內左、右極限存在的不連續函數

其實這也並不算是廣義積分。我們併到這裡一起講。 舉一個初步的狀況，如果 f(x) 是一個定義在 [a,b] 裡面的函數， 如果 c 是 (a,b) 內部的一個點，f(x) 除了在 c 不連續以外， 在其他點都是連續的。而且

各自收斂到不相等的兩個實數。 則 f(x) 在 x=c 處發生了一個左、右極限存在的不連續。 既然如此，可以先定義

雖然 和 都是「非閉區間」地連續函數，但是前者在 x=c 的左極限收斂， 後者在 x=c 的右極限存在，所以可以分別被視為 [a,c] 和 [c,b] 閉區間內的連續函數。 因此，就分別按照閉區間中的連續函數來積分，而利用積分的銜接性，得知

例如考慮

則 H(x) 在 [-1,0] 區間內可以視為 而在 [0,1] 區間內可以視為 ， 因此

舉一反三，如果 f(x) 在 [a,b] 區間內除了在 n 個點不連續之外， 其他地方都連續。但是在這 n 個不連續的地方，左、右極限都存在， 則可以將 f(x) 視為 n+1 段閉區間中的連續函數， 將它們分別積分再加在一起，就是 f(x) 在 [a,b] 內的定積分值。

只要是分片定義，在分片的點上左、右極限都存在的函數，都可以用這個方法求積分值。 不限定不連續函數才能這麼做。請做這一節的習題。

無限大函數的廣義積分

如果 f(x) 在閉區間 [a,b] 中除了 x=c 處沒定義之外， 在其他地方都連續，而且 f(x) 在 x=c 的左或右極限之一（或兩者） 發散到無窮大或負無窮大， 則我們可以將 f(x) 在 [a,b] 區間的積分， 拆開來看成是 [a,c) 和 (c,b] 兩個區間中的積分。 根據這個認識，我們現在明白，所有這種牽涉垂直漸近線的廣義積分問題， 總是可以簡化成以下兩種問題來討論：

1. 考慮 f(x) 在 [a,b) 區間中連續，而且在 b 點不能做連續拓展。 也就是說，
   
   
   
   
2. 考慮 f(x) 在 (a,b] 區間中連續，而且在 a 點不能做連續拓展。 也就是說，
   
   
   
   

我們稱此類問題為 無限大函數的廣義積分。

無限長區間的廣義積分

如果 f(x) 在無限長的區間 或 內考慮積分問題，因為這兩種狀況處理方式相同，現在我們只討論後者。 如果 f(x) 在 內有任何不連續的點，例如在 x=b 處不連續， 則我們可以分別討論 f(x) 在 (a,b) 和 內的積分。由此可見 (在只有有限多個不連續點的情況下)， 我們總是可以剔除那些不連續的點，而最後考慮 f(x) 在 內是連續函數的積分問題。

然後我們考慮 f(x) 在 a 點的情況。如果它的右極限收斂，就可以拓展成一個 區間中的連續函數。如果不能，就乾脆挑一個 b > a 然後探討 (a, b] 和 的廣義積分問題。前者屬於「有限區間」的那一類問題。

根據這些認識，我們現在明白，所有這種牽涉無限長區間的廣義積分問題， 總是可以簡化成以下兩種問題來討論：

1. 考慮 f(x) 在 區間中連續的定積分問題。
2. 考慮 f(x) 在 區間中連續的定積分問題。

我們稱此類問題為 無限長區間的廣義積分。

以上就是所有我們將討論的廣義積分問題。 其實，經過簡化之後，也不過就是兩大類：無限大函數和無限長區間的廣義積分。 無限大函數只有在有限長區間內才可能圍成一個有限的面積。 如果有一個函數，譬如說 (非零) 多項式， 當 x 趨於無窮大時，函數值也趨於無窮大，則讀者以直覺就能判斷， 它所圍成的面積肯定是無窮大；無窮大不是個實數，所以我們說它不可積。

習題

1. 如果
   
   
   
   請問
   
   
   
   
2. 請問 (不需要用到計算機)
   
   
   
   
3. 定義
   
   
   
   請問 B(x) 在 [-2,2] 內的定積分是什麼？
4. 定義
   
   
   
   請問 H(x) 在 [-2,2] 內的定積分是什麼？
5. 定義
   
   
   
   請問 f(x) 在 [-5,5] 內的定積分是什麼？
6. 請將以下積分問題拆成若干個廣義積分， 每一個都符合「無限大函數」或「無限長區間」廣義積分的基本型態。 不必算出結果。
   
   
   
   
7. 請將以下積分問題拆成若干個廣義積分， 每一個都符合「無限大函數」或「無限長區間」廣義積分的基本型態。 不必算出結果。
   
   
   
   
8. 請將以下積分問題拆成若干個廣義積分， 每一個都符合「無限大函數」或「無限長區間」廣義積分的基本型態。 不必算出結果。
   
   
   
   
9. 請將以下積分問題拆成若干個廣義積分， 每一個都符合「無限大函數」或「無限長區間」廣義積分的基本型態。 不必算出結果。