無限長區間的廣義積分

無限長區間的廣義積分可以簡化成以下兩種問題來討論：

因為兩者的處理方式相同，我們只說第一者。任給一個大於 a 的數 A，則 f(x) 是 [a, A] 內的連續函數，所以可積，其定積分將是隨 A 而變的函數：

如果

收斂，則我們稱 f(x) 在

中可積，而其積分值就是上述極限。如果不收斂（極限不存在或發散），則稱 f(x) 在

中不可積。

例如

但是

如果一個積分問題必須分割成兩個 (以上) 的廣義積分，那麼，這些廣義積分當中，只要有一個不可積，我們就說原來那個積分問題不可積。 例如，如果 f(x) 在中是連續函數，但是 f(x) 在 x=a 處卻有垂直漸近線，則我們可以任選一個比 a 大的數 b，然後考慮兩片廣義積分：

如果 f(x) 在

中除了 x=c 處沒定義而且有垂直漸近線之外，在其他點上都連續。則我們任取一個比 c 大的點 d，而 f(x) 在 [a,c)、(c,d] 和

是連續函數，而廣義積分應該分成三片來處理：

如果上式右邊三個廣義積分中，有任何一個不收斂（極限發散或不存在），則我們說 f(x) 在

中不可積。

例如

可以拆成

來處理。雖然上式右邊的第二個廣義積分收斂，但是因為第一個廣義積分發散，所以問題 (1) 是不可積的。

當您已經操作熟練之後，就不需要按照上面的建議，將廣義積分拆成兩三片來做。但是，對於初學者，我們還是建議您照這個原則來做。等到熟練了，您自然知道要怎樣「偷吃步」，這就不必我們教了。