趨向無窮大的函數極限

以前我們探討的都是以下類型

的函數極限問題，其中 c 是一個實數。對於這種問題，我們並沒有敘述嚴格的數學定義，只是介紹了幾個重要的計算方法，趁這個機會簡單複習一下。

如果 f(x) 在 c 點連續，則上述極限就收斂到 f(c)
極限可能收斂、發散或不存在。
如果 f(x) 是個分式，而且分子收斂到一個非零實數，但是分母收斂到 0，則上述極限發散。
如果 f(x) 是個分式，而且分子與分母都收斂到 0 或者都發散，則屬於不定型式，要應用泰勒展開或者羅必達法則來計算。

這一節中，我們要探討以下類型的函數極限：

我們仍然不敘述嚴格的數學定義。只針對基本類型函數，介紹結果。然後介紹運算性質。讀者目前只要會操作就好了。

基本類型函數

冪函數: 冪數為 0
也就是常數極限的意思。令 c 是一個實數 (包括 0)，則

冪數為整數
令 n 是一個正整數，則

而

例如

冪數為實數
令 r 是一個正實數 (包含有理數)，為了方便起見 (而且不失其實用性)，我們只考慮 x > 0 的情況。則

例如
指數函數: 如果考慮則結果與上式相反。例如
對數函數: 對數函數只在 x > 0 有定義
三角函數: 因為三角函數都是週期函數，所以當 x 很大的時候，函數值仍然保持在一定範圍內震盪。所以

其他三角函數亦同。
反三角函數: 反正弦與反餘弦函數都只有在 [-1,1] 中有定義，所以沒有趨於無窮大的極限問題。反正切函數，則有水平漸近線：

其他三角函數亦同。

基本運算規則

其實，所有規則都和 $x\to c$ 的極限計算規則相同，我們複習於此。

線性

若 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)$ 都收斂，而 c 是一個實數，則

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} c\cdot f(x) = c\,\lim_{x\to\infty} f(x) \end{displaymath}$

且

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} \bigl(f(x)+g(x)\bigr) = \lim_{x\to\infty} f(x)+ \lim_{x\to\infty} g(x) \end{displaymath}$

合稱為線性性質。

乘法律

若 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)$ 都收斂，則

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} \bigl(f(x)\,g(x)\bigr) = \Bigl(\lim_{x\to\infty} f(x)\Bigr)\,\Bigl(\lim_{x\to\infty} g(x)\Bigr) \end{displaymath}$

除法律

若 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)$ 都收斂，而且 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)\not=0$ 則

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)} {\displaystyle\lim_{x\to\infty} g(x)} \end{displaymath}$

合成律

這其實是連續函數的定義。若 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)$ 收斂到實數 T，而且 f(x) 在 x=T 處連續，則

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} f\bigl(g(x)\bigr) = f\Bigl(\lim_{x\to\infty} g(x)\Bigr) \end{displaymath}$

例如

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} \ln\Bigl(\frac{1+x}{x}\Bigr) = \ln\Bigl(\lim_{x\to\infty}(\frac1x+1)\Bigr) = \ln 1 = 0 \end{displaymath}$

夾擊定理

若 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}h(x)$ 都收斂，而且存在一個數 A 使得

$\begin{displaymath} g(x) \leq f(x) \leq h(x)\quad\forall x>A \end{displaymath}$

恆成立，則

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} g(x)= \lim_{x\to\infty} f(x)= \lim_{x\to\infty} h(x) \end{displaymath}$

例如考慮

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{x} \end{displaymath}$

因為對任何實數 x > 0 以下順序皆成立

$\begin{displaymath} \frac{-1}x \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac1x \end{displaymath}$

而且

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} \frac{-1}x = \lim_{x\to\infty} \frac{1}x = 0 \end{displaymath}$

所以

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \end{displaymath}$

不定型式

如果 f(x) 和 g(x) 都在時發散。則

屬於

的不定型式。我們要提醒讀者，除了使用羅必達法則以外，可能簡單地約分也就可以解決問題。例如

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{2x^2+1} = \lim_{x\to\infty}\frac... ...rac{1}{\displaystyle 2+\lim_{x\to\infty}\frac1{x^2}} = \frac12 \end{displaymath}$

其他的不定型式還有 $\frac00$ 、 $0\times\infty$ 、 $\infty-\infty$ 、 $1^\infty$ 其處理方式都和 $x\to c$ 類型的不定型式相同，就不在贅述了。

變數變換

那種 $\to 0$ 和 $\to \infty$ 的極限問題經常可以互換。例如 $x\to\infty$ 可以被代換成 $\frac1x \to 0$ ，反之亦然。舉例來說，以下兩者

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} x\sin\frac1x = \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} \end{displaymath}$

和以下兩者

$\begin{displaymath} \lim_{x\to0} (1+x)^{\frac1x} = \lim_{x\to\infty} (1+\frac1x)^x \end{displaymath}$

是相同的兩對問題。

習題

請問
請問
如果 f(x) 是一個「有界」函數；也就是說存在一個正數 M 使得請證明
請問
請問
請問
請問
請問
請證明，對任意的正整數 n 都是
請問
請證明，對任意的正整數 n 都是