冪函數的廣義積分

所有 (a,b] 或 [a,b) 區間中的「無限大函數」廣義積分，經過函數的平移和鏡射之後，總是可以變成 (0,1] 區間內的問題。例如，如果 f(x) 在 (a,b] 內連續，則 g(x) = f(x+a) 就變成在 (0,b-a] 中連續，而

就變成在 (0,1] 區間中連續。然後 f(x) 在 (a,b] 區間內的積分，就變成 g(x) 在 (0,1] 區間內的積分 (這其實就是積分之變數變換技巧；f(x) 在 (a,b] 內的積值和 g(x) 在 (0,1] 內的積值，只差一個常數倍數。可見它們的廣義積分，要是收斂就兩者都收斂，要是發散則兩者都發散。)

所有「無限長區間」內的廣義積分問題，也都可以經過平移，而改成區間內的廣義積分。

因此，要概括性地討論廣義積分是否收斂的問題，可以只討論在 (0,1] 內連續而且當時會發散的函數；還有在內連續的函數。而所有這兩類型的函數，又可以簡化到冪函數 x^p 來討論。

如果冪數 p > 0 則 x^p 在 (0,1] 內根本是一個可拓展的連續函數，所以它根本不是廣義積分，只是個普通的積分，而且在 [0,1] 內必定可積。而如果冪數 p > 0 則 x^p 在內積分必定發散，這是因為所以

當一個數會大到

那麼應該毫無疑問地，它自己也就發散到無窮大。

所以，對於正的冪數 p，根本沒有值得討論的廣義積分。那麼，現在我們考慮負的冪數。也就是考慮

的兩種廣義積分。

首先，如果則

因為

所以上述廣義積分當 p > 1 時發散。當 p = 1 的時候，1/x 的反導函數是 ln(x)，讀者可以自行檢驗，其 (0,1] 內的廣義積分也發散。所以，我們獲得結論：

再者，如果則

因為

所以上述廣義積分當 p < 1 時發散。當 p = 1 的時候，1/x 的反導函數是 ln(x)，讀者可以自行檢驗，其

內的廣義積分也發散。所以，我們獲得結論：

以上 (1) 式和 (2) 式都很容易推導，所以請讀者不要背誦。讀者或許會覺得 (1) 式和 (2) 式「互相相反」，其實沒有。其實，它們倆透露了一個規則：

是一條界線：比它『大』的函數，廣義積分均發散；比它『小』的函數，廣義積分均收斂。

上面那句話非常粗糙，但是應該可以提供讀者一個簡便的估計準則。以上所謂的「大」和「小」，不是指係數而言，例如

雖然比

小，但是只是係數的差別，在冪數上，它們還是同一等級。因此在 (0,1] 中的廣義積分仍然發散。同理，

也不算是比

「大」。以上所說得「大」和「小」，指的是冪數，也就是 (1) 和 (2) 式中的 p 。而為什麼會這樣說呢，看以下兩張圖示就明白了。

x=0..1, p=0.8, p=1, p=1.2	x=1..15, p=0.8, p=1, p=1.2

我們看到，紅色曲線是「界線」，而對照 (1) 式和 (2) 式，會收斂的曲線總在「下方」。如果我們瞭解冪函數在 (0,1] 和

區間內的「函數大小」與「冪數大小」關係，就不會覺得 (1) 式和 (2) 式「相反」了，它們不但沒有「相反」，反而是一個一致的現象。

為了避免一些細節引起的麻煩，我們從此只探討非負函數，也就是 f(x) >= 0 的函數。如果遇到需要處理負值函數函數的時候，通常取其絕對值即可。因此不再贅述。

在技術上，當我們面對一個 (a,b] 區間上的「無限大函數」廣義積分，要怎樣才能斷定當 $x\to a^+$ 的時候， $f(x)\to\infty$ 的速度比 $\frac1{x-a}\to\infty$ 更慢 (因此曲線落在它的下方) 呢？試想，如果當 x 靠近 a 的時候，存在某數 p < 1 使得

$\begin{displaymath} f(x) \approx \frac1{(x-a)^p} \quad\hbox{where}\quad x\approx a \end{displaymath}$

則因為

$\begin{displaymath} \lim_{x\to a^+} \frac {x-a}{(x-a)^p} = \lim_{x\to a^+} (x-a)^{1-p} = 0 \quad (p<1)\end{displaymath}$

所以我們不難推論：如果

$\begin{displaymath} \lim_{x\to a^+} (x-a)f(x) = 0 \end{displaymath}$

則

$\begin{displaymath} \int_a^b f(x) dx \end{displaymath}$

是可積的；否則不可積。

另方面，當我們面對一個「無限長區間」廣義積分，要怎樣才能斷定當 $x\to\infty$ 的時候， $f(x)\to 0$ 的速度比 $\frac1x\to0$ 更快 (因此曲線落在它的下方) 呢？試想，如果當 x 很大的時候，存在某數 p > 1 使得

$\begin{displaymath} f(x) \approx \frac1{x^p} \quad\hbox{where}\quad x\to\infty \end{displaymath}$

則因為

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} \frac{x}{x^p} = \lim_{x\to\infty} \frac1{x^{p-1}} = 0 \quad(p>1) \end{displaymath}$

所以我們不難推論：如果

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} xf(x) = 0 \end{displaymath}$

則

$\begin{displaymath} \int_a^\infty f(x) dx \end{displaymath}$

是可積的；否則不可積。

例如，考慮

$\begin{displaymath} \int_0^1 \frac1{\root 3 \of{2x-x^2}} dx \eqno(3) \end{displaymath}$

這是一個 (0,1] 區間中的「無限大函數」廣義積分。因為

$\begin{displaymath} \lim_{x\to 0^+} \frac{x}{\root 3\of{2x-x^2}} = \lim_{x\to 0^+} \frac{x^{2/3}}{\root 3\of{2-x}} = \frac0{\root 3\of 2} = 0 \end{displaymath}$

所以我們斷定 (3) 是可積的。

再考慮以下在無限長區間中的廣義積分：

$\begin{displaymath} \int_1^\infty \frac1{\sqrt{x^3+5}} dx \eqno(4) \end{displaymath}$

因為

$\begin{displaymath} \lim_{x\to\infty} \frac x{\sqrt{x^3+5}}= \lim_{x\to\infty} \frac 1{\sqrt{x+\frac5{x^2}}}=0 \end{displaymath}$

所以我們斷定 (4) 是可積的。

斷定一個廣義積分可積，並不代表知道它的答案。例如前面的 (3) 式和 (4) 式，都確定是可積的，可是我們卻無法以目前所學的積分技巧來算出答案。那麼，這種判斷理論有什麼用呢？它的用途是，因為數值方法寫成電腦程式之後，總是會算出一個答案，如果不先斷定可積，則我們不能採信那個答案。而判定了可積之後，就有許多可能的數值方法可資利用，用來估計廣義積分的值。至於那些數值方法，則不是一般微積分課程的討論範圍。

利用無限長廣義積分的下黎曼和，我們可以判斷某些無窮級數的收斂性，還可以為它的極限求得一個上界。例如考慮

$\begin{displaymath} \sum_{n=K}^\infty \frac1{n^3} \end{displaymath}$

我們留給讀者自己去驗證，上述無窮級數是以下廣義積分問題

$\begin{displaymath} \int_{K-1}^\infty \frac1{x^3}\,dx \end{displaymath}$

以 K, K+1, K+2, K+3, ... 為節點所做出的下黎曼和。因此，

$\begin{displaymath} \sum_{n=K}^\infty \frac1{n^3} < \int_{K-1}^\infty \frac1{x^3}\,dx = \frac1{2(K-1)^2} \end{displaymath}$

所以我們不但斷定此無窮級數收斂，還知道了它的極限最大也不至於超過 1/(2*(K-1)^2)。

習題

請問
請問

是否可積？簡述理由。
如果

請問

簡述理由。
請問

是否可積？簡述理由。
如果

請寫出 C 和 g(x)。
請問

是否可積？簡述理由。
請問

是否可積？簡述理由。
請問

是否可積？簡述理由。
請問

是否可積？簡述理由。
請問

是否可積？簡述理由。
請問

是哪一個區間中的「無限大函數」廣義積分？是否可積？簡述理由。
請問，哪些數 p 可以使得以下廣義積分可積？簡述理由。[HH]
請問，哪些數 p 可以使得以下廣義積分可積？簡述理由。[HH]