若 f(x) 是一個 [a,b] 閉區間內的 C1 函數， 則我們可以導出計算它在 [a,b] 內函數曲線長度的積分公式。 首先，我們將 [a,b] 做 n 段均勻分割，令 xk 是分割節點，而 是每一段的寬度 (也就是 (b-a)/n)。 因為 f(x) 可微，所以只要 n 夠大，f(x) 在任何一段中的曲線就接近一條直線。 這條直線也就是以 這兩點做成的割線。利用畢氏定理，可以計算這條割線的長度。參照以下圖示。 用以下三點圍成一個正三角形， 則割線就是此直角三角形的斜邊。因此割線長度就是 讓我們將上式改個型式，就成了： 現在，微分均值定理可以入場了。 上式中平方項裡面的式子，就是割線斜率。而根據微分均值定理， 存在某個數 使得前述之割線長度等於 現在，把這 n 段的割線長都加在一起，就是： 靠直覺應該可以看出來，當 的時候，這些割線長的和就趨近於曲線長。 但是，看看上面那條式子，不就恰好是 在 [a,b] 區間內的一個 n 段黎曼和嗎？那麼，當 賜給它神奇的力量，於是膽小貓就變成了霹靂虎， 而黎曼和也就成了定積分： 所以我們結論： 如果 則它在 [a,b] 中的函數曲線長度就是 習題 若 f(x) = x 請問 f(x) 在 [0,1] 區間內的曲線長度是多少？ 請用平面幾何和曲線長積分公式各算一遍，確定它們答案一致。 請問 sin(x) 在一段週期內的曲線長是多少？ 如果需要數值計算，寫出四位有效數字。 若 n 是一個正整數，請猜測當 的時候，xn 在 [0,1] 內的曲線長趨近於哪個數？ 說明您的思路歷程。 在坐標平面上，從原點到 (1,1) 這一點， 是沿著 這條路徑走比較近？還是沿著 這條路徑走比較近？為什麼？ 在坐標平面上，從原點到 (1,1) 這一點， 是沿著 這條路徑走比較近？還是沿著 這條路徑走比較近？為什麼？(可以用電腦軟體輔助計算) 計算以下曲線的長度： 如果需要數值計算，寫出四位有效數字。 計算兩軸長分別為 2 和 1 的橢圓周長。 如果需要數值計算，寫出四位有效數字。 我們早就知道圓周長公式，但是誰見過橢圓周長公式？ 為什麼沒見過呢？我們現在推導看看。 請寫出兩軸長分別為 a 和 b (a, b > 0) 的橢圓周長積分式。 盡量化簡。試試看能不能算出這個積分式？ (可以用電腦軟體輔助計算) 請解釋您遇到的困難是什麼？
如果 則它在 [a,b] 中的函數曲線長度就是